Hướng dẫn chi tiết cách giải Một số bài toán Thực tế có yếu tố lượng giác
Tìm hiểu cách giải một số bài toán thực tế có yếu tố lượng giác trong chương trình Toán lớp 9. Hướng dẫn chi tiết kèm phương pháp dễ hiểu giúp học sinh nắm chắc kiến thức
Ứng Dụng Định Lý Góc Nội Tiếp Chắn Nửa Đường Tròn: Chứng Minh Các Điểm Cùng Thuộc Một Đường Tròn
Bài viết cung cấp kiến thức cơ bản và các ứng dụng thực tế của định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Từ phát biểu định lý, chứng minh lý thuyết đến các ví dụ minh họa cụ thể, bạn sẽ hiểu cách chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn một cách rõ ràng và dễ dàng.
Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết về
Ứng Dụng Định Lý Góc Nội Tiếp Chắn Nửa Đường Tròn: Chứng Minh Các Điểm Cùng Thuộc Một Đường Tròn
Trong số các tính chất liên quan đến góc nội tiếp, tính chất về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là một trong những định lý cơ bản và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán hình học đường tròn.
Xem lại
1. Phát Biểu Định Lý
1.1 Nếu một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn , Thì góc đó bằng 90º
1.2 Nếu một tam giác vuông , Thì tam giác đó nội tiếp đường tròn đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm cạnh huyền
1.3 Nếu một tam giác vuông , Thì 3 đỉnh của tam giác đó cùng thuộc đường tròn đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm cạnh huyền
Nhận Xét
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: Cần ba điểm xác định, bao gồm đỉnh góc vuông và hai đầu mút của đường kính mà các tia của góc đi qua.
Tam giác vuông: Cần ba đỉnh xác định của tam giác.
Như vậy:
Một góc vuông có thể nội tiếp vô số đường tròn khác nhau và nằm trong vô số tam giác khác nhau
Tuy nhiên, một tam giác vuông chỉ nội tiếp một đường tròn duy nhất.
2. Chứng Minh Định Lý
2.1 Chiều Thuận
Áp dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có trung điểm của cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông. Theo định nghĩa đường tròn, ta suy ra điều phải chứng minh (1.2 và 1.3).
2.2 Chiều Ngược
Nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó, thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện. Do đó, ta suy ra định lý 1.1.
3. Ứng Dụng Định Lý
3.1 Với Góc cố định
Định lý 1.1 áp dụng cho một góc vuông với một điểm xác định (đỉnh góc và hai điểm di động trên các tia của góc).
Với cùng một góc vuông:
- Có vô số tam giác vuông được tạo thành.
- Có vô số đường tròn.
3.2 Với Đoạn Thẳng cố định
Đối với một đoạn thẳng cố định, ta có:
- Vô số tam giác vuông có đoạn thẳng đó là cạnh huyền.
- Chỉ có một đường tròn duy nhất ngoại tiếp tất cả các tam giác đó và có đoạn thẳng là đường kính
3.3 Với Tam Giác
Một tam giác vuông cho trước xác định một đường tròn duy nhất đi qua ba đỉnh của tam giác.
4. Tóm Tắt
Trường Hợp | Điều Kiện Cần | Điều Kiện Đủ | Số Bộ Ba Điểm/Tam Giác | Số Đường Tròn |
1 Góc | Góc vuông | Hai điểm thuộc hai tia góc vuông | Vô số | Vô số |
1 Đoạn Thẳng | Góc vuông | Một điểm cách trung điểm đoạn thẳng | Vô số | Một |
1 Tam Giác | Góc vuông | Tam giác vuông | Một | Một |
5. Ví Dụ
Ví Dụ 1
Đề bài:Cho hình vuông
. Trên các tia
và
, lấy các điểm
và
sao cho
.
a) Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi
là trung điểm của
. Chứng minh rằng các bộ bốn điểm
và
cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh
thẳng hàng.
Câu a
💬Nhận xét:
ta thấy M, N là điểm bất kì trên hai tia CB, CD tương tự trường hợp giả thiết cho một góc ( 1 ).
Khi có 1 góc, bước đầu tiên ta cần làm xác định điều kiện cần - góc vuông là góc nào, trong trường hợp này là góc BCD.
Tiếp theo ta xác định có điều kiện đủ là hai điểm M,N di động trên hai tia CB,CD.
Vậy theo định lý, 3 điểm C,M, N sẽ thuộc đường tròn đường kính MN
Việc ta cần chứng minh là A cũng thuộc đường tròn đường kính MN
Nếu A thuộc đường tròn đường kính MN thì khi và chỉ khi theo định lý 1.1 góc MAN phải bằng 90º.
Điều này đúng theo giả thiết.
Vậy bài toán đã được giải xong
Hướng dẫn: kéo thanh trượt để thay đổi hình
Trình bày
Góc
vuông tại
, thỏa mãn điều kiện định lý 1.1.
Đường tròn đi qua
có đường kính
Ta có
theo giả thiết
Vậy
thuộc cùng một đường tròn.
Câu b
Nhận xét:
Xét bộ ( A,N,D,O) , ta thấy có 1 góc vuông là góc NAD.
Lý luận tương tự suy ra 3 điểm A,N, D thuộc đường tròn đường kính AN.
Nếu O cũng thuộc đường tròn đường kính AN thì theo đinh lý góc AON phải vuông, hay
Mà theo giả thiết, O là trung điểm của MN, vậy khi tam giác AMN cân, nghĩa là AM bằng AN
Vậy nếu chứng minh được AM bằng AN thì bài toán xong.
Dễ dàng thấy AM, AN nằm trong hai tam giác "có vẻ giống nhau:" là ADN và ABM.
Hai tam giác này vuông có 1 cặp cạnh đã bằng nhau.
Vây ta chỉ cần thêm một cặp cạnh hoặc một cặp góc bằng nhau thì bài toán xong.
Kiểm tra lại giả thiết, ta thấy đề bài cho GÓC MAN, gợi ý cho ta đi theo hướng góc bằng.
Quả thật vậy, góc + góc = 90 º = = góc + góc .
Vậy hai tam giác vuông ADN và ABM. bằng nhau (g-c-g) suy ra AM = AN suy ra tam giác AMN cân tại A suy ra suy ra điều phải chứng minh
Tương tự với bộ 4 điểm còn lại
Trình bày
Xét bộ điểm
.
– Góc
vuông tại
, suy ra
thuộc đường tròn đường kính
.
–
cũng thuộc đường tròn này, khi và chỉ khi
.
–ta chứng minh
Theo giả thiết:
là trung điểm
Điều cần chứng minh tương đương với
tam giác
cân tại
.
Tương đương
.
Xét hai tam giác vuông
và
có:
(góc bằng).
(hình vuông).
Suy ra
. Do đó,
.
Vậy
thuộc cùng một đường tròn.
Nhận xét
Cách “Cố định” một yếu tố (điều kiện cần) và tìm các điều kiện tiếp theo (điều kiện đủ) để chứng minh như ví dụ trên giúp chúng ta suy luận một cách có hệ thống và mạch lạc, không bị rối, đặc biệt khi bài toán đòi hỏi phải chứng minh nhiều bước trung gian.
Ví Dụ 2
Đề bài:
Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn
.
Gọi
là trung điểm của
. Kẻ
và
.
Điểm
đối xứng với
qua
.
Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
Gọi
là trung điểm
. Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
Câu a
Trung điểm
của
, kết hợp tính đối xứng, suy ra
và
.
Do đó,
thuộc đường tròn đường kính
.
Câu b
Trung điểm
của dây cung
:
tại
.
Suy ra tam giác
vuông tại
.
Kết hợp các tam giác vuông
và
, chứng minh
cùng thuộc đường tròn.
6. Mở Rộng
Định lý được mở rộng với hai tam giác vuông có chung cạnh huyền:
nếu hai tam giác vuông có chung cạnh huyền thì thì các đỉnh của chúng cùng thuộc 1 đường tròn
Vị trí 1: Hai tam giác nằm cùng phía với cạnh huyền.
Vị trí 2: Hai tam giác nằm khác phía với cạnh huyền.
Xem Thêm Các Chủ đề đang được xem nhiều nhất
Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)
Bài Liên Quan
Danh sách Tuyển chọn Chuyên đề có tính ứng dụng cao | Toán Cô Diễm
Danh sách tổng hợp các chuyên đề của Toán Cô Diễm để giúp các bạn học sinh nâng cao kiến thúc và kỹ năng giải toán trong các kì thi và kiểm tra . Cập nhật liên tục.
Hướng dẫn giải đề minh hoạ thi tuyển sinh lớp 10 2025 | Phần 2: Các bài kiểm tra kiến thức học kì 2 | Toán Cô Diễm
Hướng dẫn kiến thức nền tảng và kỹ thuật cơ bản để vận dụng làm bài tập và giải các bài toán khó trong các đề thi học kì và chuyển cấp
Made with Bullet