Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về chi phí sản xuất (bài 3) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9

Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về chi phí sản xuất (bài 3) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9

Hướng dẫn kiến thức nền tảng và kỹ thuật cơ bản để vận dụng làm bài tập và giải các bài toán khó trong các đề thi học kì và chuyển cấp

Nov 11, 2024
Cùng giải bài toán trích từ đề minh hoạ của Sở Giáo Dục Thành Phố trong bài tập ôn thi học kì, giúp bạn làm quen với các bài toán tối ưu hóa sản xuất.
 
Trong bài này, các bạn sẽ khám phá cách phân tích, tối ưu giữa số lượng sản phẩm và chi phí sản xuát để tìm lợi nhuận cao nhất bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM-GM
 

Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết cách phân tích và bài giải
 

Đề bài

Đề bài:

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 501 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất.
notion image
sản phẩm
notion image
.), thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là
notion image
trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là
notion image
Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
( Đề minh hoạ 2025 SGD TP - Có chỉnh sửa)
 
Xem bài trước
 

Giải

 
✬ Bước 1: Lập công thức lợi nhuận
 
Gọi
notion image
là lợi nhuận khi sản xuất và bán
notion image
sản phẩm.
 
⇢ Lợi nhuận
notion image
được tính theo công thức:
 
Lợi nhuận = doanh thu −  (chi phí sản xuất một sản phẩm × số sản phẩm)
 
notion image
 
=x32003x2+1006028x+250000x(x+2024+250000x)= x^3 - 2003x^2 + 1006028x + 250000 - x\left(x + 2024 +\frac{250000}{x}\right)
 
 
Bước 2: Rút gọn công thức lợi nhuận
 
notion image
Ta khai triển biểu thức bên trong ngoặc
notion image
Thay vào biểu thức ban đầu:
notion image
Khi đó, rút gọn:
notion image
Tiếp tục nhóm các hạng tử:
notion image
notion image
đặt ( x ) làm thừa số chung trong biểu thức đã rút gọn:
notion image
Đưa về bình phương đúng
notion image
Sau khi thay các biểu thức vào và rút gọn, ta được:
notion image
Kiểm tra kết quả Rút gọn bằng miniAITA ✿
Kiểm tra kết quả Rút gọn bằng miniAITA ✿
notion image
 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
 
Bất đẳng thức AM-GM hay còn được biết đến với tên gọi BĐT “Cô-si” là một công cụ mạnh trong các bài toán tìm cực trị như bài toán này
 
Xem lại
 
 
Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a,b,c không âm ta có
notion image
Lập phương hai vế, ta có
notion image
notion image
( 1 )
Ta gọi kết quả ( 1 ) là bổ đề ( 1 )
 
Để áp dụng được bổ đề ( 1 ) ta biến đổi biểu thức L
 
notion image
notion image
 
Áp dụng ( 1 ) cho các số hạng dương
notion image
notion image
,và
notion image
 
Suy ra
notion image
 
Biểu thức trên đạt cực đại khi:
notion image
 
Kết luận:
Doanh nghiệp cần sản xuất  x = 334  sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại.

Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
 
 
 
 

 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)