Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về thời gian và nguyên liệu (bài 2) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9
Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về thời gian và nguyên liệu (bài 2) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9
Các Mục Chính
Đề bài
Phân tích bài toán
Giải
Cách 1: Sử dụng bảng tính
Nhận xét:
Lập luận
Cách 2: Tối ưu hóa lợi nhuận bằng phương pháp bất đẳng thức

Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về thời gian và nguyên liệu (bài 2) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9

Hướng dẫn kiến thức nền tảng và kỹ thuật cơ bản để vận dụng làm bài tập và giải các bài toán khó trong các đề thi học kì và chuyển cấp

Lớp 9 BĐT Thi Lớp 10 Đại Số Bài Mẫu
Shin Hoàng
Nov 11, 2024
Cùng giải bài toán trích từ đề minh hoạ của Sở Giáo Dục Thành Phố trong bài tập ôn thi học kì, giúp bạn làm quen với các bài toán tối ưu hóa sản xuất.
 
Trong bài này, các bạn sẽ khám phá cách phân tích, tối ưu hóa và áp dụng bất đẳng thức để đạt lợi nhuận cao nhất tại một xưởng sản xuất bàn, ghế.
 
Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết cách phân tích và bài giải
 

Đề bài

 
Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Thời gian để một công nhân hoàn thiện 1 chiếc bàn và 1 chiếc ghế lần lượt là 120 phút và 30 phút.
 
Xường có 4 công nhân, mỗi công nhân làm việc không quá 6 tiếng mỗi ngày.
 
Biết rằng sản phẩm của xưởng luôn được tiêu thụ hết, mỗi chiếc bàn lãi 200 nghìn đồng, mỗi chiếc ghế lãi 75 nghìn đồng và số ghế không vượt quá 4 lần số bàn.
 
Trong một ngày sản xuất, xường có thể thu được lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu tiền? Viết câu trả lời theo đơn vị triệu đồng.
 
Xem bài trước
 

Phân tích bài toán

 
Xưởng sản xuất bàn và ghế với các điều kiện ràng buộc như sau:
 
👉🏻 Mỗi công nhân làm việc tối đa 6 tiếng mỗi ngày, có 4 công nhân, tổng thời gian làm việc mỗi ngày là
notion image
giờ.
 
👉🏻 Mỗi bàn cần 120 phút (2 giờ) để hoàn thiện.
 
👉🏻 Mỗi ghế cần 30 phút (0.5 giờ) để hoàn thiện.
 
👉🏻 Mỗi bàn mang lại lợi nhuận 200,000 VND, mỗi ghế mang lại lợi nhuận 75,000 VND.
 
👉🏻 Số ghế
notion image
không được vượt quá 4 lần số bàn
notion image
(nghĩa là
notion image
).
 
Chúng ta cần tìm số lượng bàn
notion image
và ghế
notion image
để đạt lợi nhuận lớn nhất trong một ngày.
 

Giải

Cách 1: Sử dụng bảng tính

Nhận xét:

 
Tương tự bài 1, dễ thây số ghế một công nhân 1 ngày không quá 3 cái, suy ra 4 công nhân làm không quá 12 cái ghế/ ngày
 
Ta kẻ bảng và kiểm tra lại điều kiện (Số ghế không vượt quá 4 lần số bàn) để nhận nghiệm
 
 
Số bàn
Thời gian làm bàn (=2 x số Bàn) (tiếng)
Thời gian làm ghế tối đa (24 - thời gian làm bàn) (tiếng)
Số Ghế (=phần nguyên của (thời gian làm ghế ÷ 0.5)
Lời Tổng Bàn (= số bàn × 200000)
Lời Tổng ghế (= số ghế×    75000)
Tời Tổng (A+B)
C =Số ghê - 4 Số bàn
Số ghế nhỏ hơn 4 lần Số bàn (C < 0)
Nhận?
12
24
0
0
2,400,000 ₫
0 ₫
2,400,000 ₫
-48
Đúng
Nhận
11
22
2
4
2,200,000 ₫
300,000 ₫
2,500,000 ₫
-40
Đúng
Nhận
10
20
4
8
2,000,000 ₫
600,000 ₫
2,600,000 ₫
-32
Đúng
Nhận
9
18
6
12
1,800,000 ₫
900,000 ₫
2,700,000 ₫
-24
Đúng
Nhận
8
16
8
16
1,600,000 ₫
1,200,000 ₫
2,800,000 ₫
-16
Đúng
Nhận
7
14
10
20
1,400,000 ₫
1,500,000 ₫
2,900,000 ₫
-8
Đúng
Nhận
6
12
12
24
1,200,000 ₫
1,800,000 ₫
3,000,000 ₫
0
Đúng
Nhận
5
10
14
28
1,000,000 ₫
2,100,000 ₫
3,100,000 ₫
8
Sai
Loại
4
8
16
32
800,000 ₫
2,400,000 ₫
3,200,000 ₫
16
Sai
Loại
3
6
18
36
600,000 ₫
2,700,000 ₫
3,300,000 ₫
24
Sai
Loại
2
4
20
40
400,000 ₫
3,000,000 ₫
3,400,000 ₫
32
Sai
Loại
1
2
22
44
200,000 ₫
3,300,000 ₫
3,500,000 ₫
40
Sai
Loại
 
Dựa vào bảng ta chọn x = 6, y = 24

Lập luận

 
Để dễ kiểm tra các trường hợp có thể xảy ra, chúng ta giới hạn số lượng bàn
notion image
và tính số ghế tối đa tương ứng.
 
Bước 1: Giới hạn số bàn
 
notion image
 
vì nếu nhiều hơn, tổng thời gian làm bàn sẽ vượt quá 24 giờ.
 
Bước 2: Với mỗi giá trị của
notion image
, tính thời gian còn lại dành cho ghế là
notion image
(giờ).
 
Bước 3: Số ghế tối đa
notion image
có thể sản xuất là phần nguyên của
notion image
.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện
notion image
và tính lợi nhuận tổng
notion image
 
Kết quả: Khi
notion image
và
notion image
 
, lợi nhuận đạt 3,000,000 VND (3 triệu đồng), thỏa mãn các điều kiện.
 
 

Cách 2: Tối ưu hóa lợi nhuận bằng phương pháp bất đẳng thức

 
Đặt các biến và điều kiện tối đa cho số ghế. Gọi
notion image
là số bàn và
notion image
là số ghế xưởng sản xuất mỗi ngày. (x,y∈Nx, y \in N)
 
Thời gian làm bàn là
notion image
giờ,
và thời gian làm ghế là
 
notion image
giờ.
 
 
Tổng thời gian làm việc tối đa mỗi ngày là 24 giờ, dẫn đến bất phương trình:
 
notion image
 
Đặt y' là số ghế tối đa có thể sản xuất mỗi ngày sau khi làm x cái bàn (y≤y′≤4xy \leq y'\leq4x). Ta có:
 
Thời gian làm ghế tối đa sẽ bằng thời gian còn lại trong ngày sau khi làm bàn
 
notion image
✬ Số ghế tối đa làm được mỗi ngày sẽ bằng  phần nguyên của( thời gian tối đa làm ghê chia cho thời gian làm ghế)
notion image
[(24−2x0.5)]=[48−4x][\left( \frac{24 - 2x}{0.5} \right)]=[48-4x]
notion image
 
(do x nguyên nên phần nguyên của 48-4x bằng chính nó)
 
✬ Ràng buộc số ghế tối đa và số bàn:
Số ghế tối đa vẫn phải thoả điều kiện không vượt qua 4 lần số bàn: suy ra
notion image
 
Từ (2) và (3)  ta có:
notion image
 
Giải bất phương trình này:
notion image
 
✬ Biểu thức lợi nhuận và tối ưu hóa:
 
Lợi nhuận tổng mỗi ngày là:
notion image
từ
notion image
 
Suy ra
notion image
 
Biến đổi biểu thức:
 
notion image
notion image
notion image
notion image
notion image
 
Đẳng thức xảy ra khi dấu bằng ở hai bất đẳng thức xảy ra tức là
notion image
notion image
 
Vậy, lợi nhuận tối đa mà xưởng có thể thu được trong một ngày là 3 triệu đồng khi sản xuất 6 bàn và 24 ghế.
Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
 
👨🏻‍🎓
Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về thời gian và nguyên liệu (Bài 1) | Bất đẳng thức | Ôn thi HK1 | Toán Cô Diễm
 
👨🏻‍🎓
Hướng dẫn giải đề minh hoạ thi tuyển sinh lớp 10 2025 | Phần 1: các bài kiểm tra kiến thức học kì 1 | Toán Cô Diễm
 
👨🏻‍🎓
Bất Đẳng Thức AM-GM và Toán Thực Tế Tối Ưu hoá
 
 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
🌍 toancodiem.com
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)
 
 
Shin Hoàng

Bài Liên Quan

Giải Mẫu Bài Tập : Bài 9 Sách Chân trời Sáng Tạo - Toán - Bất Đẳng Thức -Thực Tế Tính Điểm | Ôn Tập Chương 2 Bất Đẳng thức | Toán Lớp 9

Giải Mẫu Bài Tập : Bài 9 Sách Chân trời Sáng Tạo - Toán - Bất Đẳng Thức -Thực Tế Tính Điểm | Ôn Tập Chương 2 Bất Đẳng thức | Toán Lớp 9
Shin Hoàng
Dec 1, 2024

Bài viết hướng dẫn giải mẫu bài 9 trang 35 sách chân trời sáng tạo về bất đẳng thức ,kèm các bài tập tự luyện và mở rộng ứng dụng của bất đẳng thức trong các tình huống thực tế và trong bài thi khác nhau

Đại Số Lớp 9 Bài Mẫu Dạng BĐT
Giải Mẫu Bài Tập : Bất phương trình trong Toán Thực Tế dạng bậc thang: Giảm giá, Tính tiền điện nước |Toán Lớp 9| Chương 2

Giải Mẫu Bài Tập : Bất phương trình trong Toán Thực Tế dạng bậc thang: Giảm giá, Tính tiền điện nước |Toán Lớp 9| Chương 2
Shin Hoàng
Dec 1, 2024

Hướng dẫn bài tập về bất phương trình trong toán thực tế dạng bậc thang, bao gồm giảm giá và tính tiền điện nước. Tài liệu cung cấp các ví dụ cụ thể, phân tích điều kiện và cách giải bài toán, cùng với bài tập tự luyện để phát triển kỹ năng toán học cho học sinh lớp 9.

Đại Số Lớp 9 Bài Mẫu Dạng BĐT
Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về chi phí sản xuất (bài 3) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9

Giải Bài toán tối ưu hóa sản xuất với điều kiện ràng buộc về chi phí sản xuất (bài 3) | Bất đẳng thức | Toán Lớp 9
Shin Hoàng
Nov 11, 2024

Hướng dẫn kiến thức nền tảng và kỹ thuật cơ bản để vận dụng làm bài tập và giải các bài toán khó trong các đề thi học kì và chuyển cấp

Lớp 9 BĐT Thi Lớp 10 Đại Số Bài Mẫu