Hệ Thống Kiến Thức : 6 dạng Toán Thực Tế đưa về Phương trình - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn | Toán Lớp 9 | Chương 1 và 2
Hệ Thống Kiến Thức : 6 dạng Toán Thực Tế đưa về Phương trình - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn | Toán Lớp 9 | Chương 1 và 2
Các Mục Chính
Các bước giải Toán Thực Tế Bằng Cách Lập Hệ Phương
Tóm tắt các bước:
Bước 1: Xác định các đại lượng trong bài toán
Bước 2: Đặt ẩn số
Bước 3: Lập phương trình từ các mối quan hệ
Bước 4: Giải hệ phương trình
Bước 5: Kiểm tra lại kết quả
Bước 6: Kết luận
6 Dạng toán thực tế đưa về giải hệ phương trình bậc nhất
1. Lãi suất
2. Đồ thị - Hàm số
Ví dụ:
3. Điện - Nước - Điện thoại
Ví dụ:
4. Mua - Bán - Lời - Lỗ
5. Chuyển động
Ví dụ
Bước 1: Giải hệ phương trình
Bước 2: Cộng hai phương trình
Bước 3: Tìm
Kết luận:
6. Tính Công Lượng Công Việc và Năng Suất
A. Tính công suất
B. Tính lượng công việc (Tính lương)
C. Năng Suất

Hệ Thống Kiến Thức : 6 dạng Toán Thực Tế đưa về Phương trình - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn | Toán Lớp 9 | Chương 1 và 2

Hướng dẫn giải 6 dạng toán thực tế liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán lớp 9. Tài liệu cung cấp các bước cụ thể để lập và giải hệ phương trình, bao gồm xác định đại lượng, lập phương trình từ mối quan hệ, và giải bằng các phương pháp như thế và cộng. Các dạng toán được đề cập bao gồm lãi suất, đồ thị, tiêu thụ điện nước, mua bán, chuyển động, và tính công, với ví dụ minh họa chi tiết cho từng dạng.

Đại Số Lớp 9 HTKT Toán Thực Tế
Shin Hoàng
Dec 1, 2024
 
 
Trong các bài toán thực tế, việc lập hệ phương trình là phương pháp hiệu quả để giải quyết các vấn đề liên quan đến nhiều ẩn số. Các bước tổng quát sau đây sẽ giúp các bạn nắm vững cách lập và giải hệ phương trình trong bài toán thực tế.
 
Tải Sơ Đồ Tóm tắt Chương 1,2 Đại Số Lớp 9
 
👨🏻‍🎓
Hệ Thống Kiến Thức : Phương trình và Hệ Phương Trình Bậc Nhất | Toán Lớp 9 | Chương 1 và 2
 
Mục chính
  1. Các bước giải Toán Thực Tế Bằng Cách Lập Hệ Phương
  1. 6 Dạng toán thực tế đưa về giải hệ phương trình bậc nhất

Các bước giải Toán Thực Tế Bằng Cách Lập Hệ Phương

Tóm tắt các bước:

  1. Xác định đại lượng cần tìm và mối quan hệ giữa chúng.
  1. Đặt ẩn số cho các đại lượng.
  1. Lập phương trình từ các mối quan hệ.
  1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng.
  1. Kiểm tra lại kết quả.
  1. Kết luận chính xác.

Bước 1: Xác định các đại lượng trong bài toán

 
Trước hết, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ:
👨🏻‍🎓
Các đại lượng cần tìm: Đây là những biến số mà các bạn cần tìm. Thường các đại lượng này sẽ được mô tả dưới dạng số lượng, giá cả, thời gian, hoặc khối lượng.
👨🏻‍🎓
Mối quan hệ giữa các đại lượng: bài thường đưa ra các điều kiện hoặc mối quan hệ giữa các đại lượng, chẳng hạn "tổng chi phí là...", "tốc độ của A hơn tốc độ của B là...", v.v.
Ví dụ:
Một cửa hàng bán hai loại sách: sách A và sách B. Sách A có giá 20.000 đồng/cuốn và sách B có giá 30.000 đồng/cuốn. Một người mua tổng cộng 10 cuốn sách hết 240.000 đồng. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu cuốn sách mỗi loại?
  • Đại lượng cần tìm: Số cuốn sách A và sách B.
  • Mối quan hệ giữa chúng:
    • Số cuốn sách A và B cộng lại bằng 10 (tổng số cuốn sách).
    • Tổng số tiền của hai loại sách là 240.000 đồng.

Bước 2: Đặt ẩn số

 
👨🏻‍🎓
Dựa trên những đại lượng cần tìm, đặt ẩn số thích hợp để biểu diễn chúng. Mỗi ẩn số sẽ tương ứng với một biến trong hệ phương trình.
 
  • Đặt x là số cuốn sách A.
  • Đặt y là số cuốn sách B.

Bước 3: Lập phương trình từ các mối quan hệ

 
👨🏻‍🎓
Từ những mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài, hãy viết ra các phương trình tương ứng.
Với ví dụ trên:
  • Mối quan hệ về số lượng sách: x+y=10 x + y = 10
  • Mối quan hệ về giá tiền: 20.000x+30.000y=240.000 20.000x + 30.000y = 240.000

Bước 4: Giải hệ phương trình

Sau khi lập được hệ phương trình, bạn sử dụng các phương pháp giải hệ như:
  • Phương pháp thế: Biểu diễn một biến theo biến còn lại từ một phương trình rồi thay vào phương trình còn lại.
  • Phương pháp cộng: Cộng hoặc trừ hai phương trình để loại bỏ một biến.
    Xem lại 2 phương pháp giải hệ phương trình
     
    Giải hệ phương trình của ví dụ:
    Hệ phương trình cần giải:
    x+y=10(1) x + y = 10 \quad (1)
    20.000x+30.000y=240.000(2) 20.000x + 30.000y = 240.000 \quad (2)
    • Bước 1: Từ phương trình (1), ta có: y=10−x y = 10 - x
    • Bước 2: Thay y = 10 - x vào phương trình (2):
        • 20.000x+30.000(10−x)=240.000 20.000x + 30.000(10 - x) = 240.000
        ⇔20.000x+300.000−30.000x=240.000 \Leftrightarrow 20.000x + 300.000 - 30.000x = 240.000
        ⇔−10.000x=−60.000 \Leftrightarrow -10.000x = -60.000
        ⇔x=6 \Leftrightarrow x = 6
    • Bước 3: Thay x = $$ vào phương trình y = 10 - x:
    • y=10−6=4 y = 10 - 6 = 4
    Vậy người đó mua 6 cuốn sách A và 4 cuốn sách B.

    Bước 5: Kiểm tra lại kết quả

    Sau khi tìm được giá trị của các biến, hãy kiểm tra lại bằng cách thay chúng vào các phương trình ban đầu để đảm bảo chúng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
    Kiểm tra:
    • Số cuốn sách: 6+4=106 + 4 = 10 (đúng).
    • Tổng tiền: 6×20.000+4×30.000=120.000+120.000=240.000 6 \times 20.000 + 4 \times 30.000 = 120.000 + 120.000 = 240.000 (đúng).

    Bước 6: Kết luận

    Cuối cùng, viết kết luận rõ ràng về kết quả bài toán. Với ví dụ này, kết luận là: Người đó mua 6 cuốn sách A và 4 cuốn sách B.
     

    6 Dạng toán thực tế đưa về giải hệ phương trình bậc nhất

     
    Để giải các dạng toán thực tế trong kỳ thi tuyển sinh, ta có thể thực hiện theo các bước tổng quát ở phần trên. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải cụ thể  theo từng dạng bài toán thường gặp đó là :
    1. Lãi suất
    1. Đồ thị - Hàm số
    1. Điện - Nước - Điện thoại
    1. Mua - Bán - Lời - Lỗ
    1. Tính Công Lượng Công Việc và Năng Suất
    1. . Chuyển động
     

    1. Lãi suất

    Đề bài thường liên quan đến việc tính toán tiền lãi sau một khoảng thời gian gửi tiết kiệm hoặc vay vốn. Các bước thực hiện như sau:
    • Bước 1: Xác định vốn ban đầu , lãi suất hàng năm , và thời gian .
    • Bước 2: Áp dụng công thức tính lãi suất đơn hoặc lãi kép tùy yêu cầu của đề bài:
    • Lãi suất đơn:
    A=P×(1+rt)A = P \times (1 + rt)
    • Lãi suất kép:
    A=P×(1+r/n)ntA = P \times (1 + r/n)^{nt}
    Trong đó:
    Vốn ban đầu
    notion image
    Số tiền nhận được sau (t) năm là
    notion image
    Lãi suất
    notion image
    Số lần lãi suất được nhập gốc trong 1 năm.
    notion image
     
    Ví dụ: Nếu bạn gửi 100 triệu đồng với lãi suất 5%/năm và không rút lãi sau năm đầu tiên, số tiền nhận được sau 2 năm là:
    notion image
    triệu đồng
     
    Xem thêm Cách xây dựng công thức Lãi suất
     

    2. Đồ thị - Hàm số

     
    👨🏻‍🎓
    Các bài toán dạng này yêu cầu xác định các hệ số trong hàm số bậc nhất hoặc bậc hai dựa trên các dữ kiện cho trước.
     
    Bước 1: Lập phương trình hàm số theo dạng đề bài yêu cầu, chẳng hạn (y = ax + b) cho hàm số bậc nhất.
    Bước 2: Sử dụng các dữ kiện như số năm, lượng tiêu thụ để lập hệ phương trình
    Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm ra các hệ số (a) và (b).
     

    Ví dụ:

    Qua nghiên cứu, người ta nhận thấy rằng với mỗi người trung bình nhiệt độ môi trường giảm đi 1°C thì lượng calo cần tăng thêm khoảng 30 calo. Tại 21°C, một người làm việc cần sử dụng khoảng 3000 calo mỗi ngày. Người ta thấy mối quan hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất y = ax + b (x: đại lượng biểu thị cho nhiệt độ môi trường và y: đại lượng biểu thị cho lượng calo)
    a) Xác định hệ số a, b
    b) Nếu một người làm việc ở sa mạc Sahara trong nhiệt độ 50oC thì cần bao nhiêu calo?
    Gợi ý giải
    Câu a:
    theo đề bài ta có .mỗi người trung bình nhiệt độ môi trường giảm đi 1°C thì lượng calo cần tăng thêm khoảng 30 calo:
    a=−30.21a=-30 .21°C,
    một người làm việc cần sử dụng khoảng 3000 calo mỗi ngày.
    3000=a×21+b3000=a×21+b
    ⇒ b=3630b=3630

    3. Điện - Nước - Điện thoại

     
    👨🏻‍🎓
    Bước 1: Xác định mức tiêu thụ điện, nước, hoặc số phút gọi điện thoại.
    Bước 2: Dựa trên bảng giá cụ thể (ví dụ giá nước tính theo từng mức tiêu thụ khác nhau), tính tổng số tiền phải trả.
    Bước 3: Áp dụng các công thức đã cho để tính tiền kèm theo thuế giá trị gia tăng (VAT) và các loại phí khác.
     

    Ví dụ:

    Giá cước điện thoại di động của một công tyđiện thoại trong 1 tháng được tính như sau .tiềnthuê bao trả trước 90000 đồng, Gọi từ 3000 phút .trở xuống không phải trả thêm tiền, trên 3000 phút .thì cứ 1 phút gọi thêm trả 100 đồng mỗi phút. Đồ .thị trên hình minh họa thời gian x (phút) gọi thêm .và số tiền cước y (đồng) tổng cộng phải trả trong .1 tháng, được xác định bởi công thức y = ax + b a) Xác định các hệ số a và b b) Nếu gọi thêm 2000 phút thì tiền cước phải trả .trong 1 tháng là bao nhiêu tiền?
    Câu a:
    Vì thuê bao trả trước là 90000 nên
    y=90000 y= 90000, x=0x=0
    ⇔90000a.0+b\Leftrightarrow 90000 a . 0 +b ⇔b=90000\Leftrightarrow b = 90000
    Vì gọi thêm 1 phút thì trả 100đ nên
    3000.100=3000003000 . 100 = 300000 ( đồng )
    Tổng tiền thuê bao trả trước và tiền gọi thêm là:
    300000+90000=390000300000 + 90000 = 390000 ( đồng )
    => x=3000x = 3000 thì y=390000y = 390000
    Thay vào hàm số tính được a bằng 100.
    Vậy y=100x+90000y = 100x + 90000

    4. Mua - Bán - Lời - Lỗ

     
    Bài toán mua bán yêu cầu tính lợi nhuận hoặc tổn thất sau khi kinh doanh.
    Công thức cơ bản:
    Lợi nhuận: Lãi = Doanh thu - Chi phí
     
    Lời lãi gộp nhiều đợt: Sau mỗi đợt kinh doanh, cả vốn lẫn lãi đợt này được gộp để tính cho đợt tiếp theo.
    Ví dụ: Bạn trẻ vay 100 triệu, sau hai đợt kinh doanh lãi lần lượt là 18% và 20%, tổng lãi sau khi trả nợ là:
    notion image
    triệu đồng

    5. Chuyển động

     
    • Bước 1: Xác định khoảng cách cần di chuyển và tốc độ.
    • Bước 2: Sử dụng các công thức tính toán chuyển động như
    notion image
    • s : Quãng đường
    • v: vận tốc
    • T: Thời gian
     

    Ví dụ

     
    notion image
     
    Gọi v1v_1 là vận tốc của xe máy (km/h) và v2v_2 là vận tốc của xe đạp (km/h).
    Theo đề bài, ta có hai điều kiện:
    1. Hiệu vận tốc của xe máy và xe đạp là 28 km/h:
    v1−v2=28(1)v_1 - v_2 = 28 \quad \text{(1)}
    2. Tổng quãng đường hai xe đi được trong 3 giờ là 156 km:
    (v1+v2)⋅3=156(v_1 + v_2) \cdot 3 = 156
    Từ đó, suy ra:
    v1+v2=1563=52(2)v_1 + v_2 = \frac{156}{3} = 52 \quad \text{(2)}

    Bước 1: Giải hệ phương trình

    Từ phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình:
    {v1−v2=28v1+v2=52\begin{cases}v_1 - v_2 = 28 \\v_1 + v_2 = 52\end{cases}

    Bước 2: Cộng hai phương trình

    Cộng hai phương trình lại để tìm v1v_1 :
    (v1−v2)+(v1+v2)=28+52(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 28 + 52
    ⇔2v1=80⇒v1=802=40 km/h\Leftrightarrow 2v_1 = 80 \quad \Rightarrow \quad v_1 = \frac{80}{2} = 40 \text{ km/h}

    Bước 3: Tìm v2v_2

    Thay v1=40v_1 = 40 vào phương trình v1+v2=52v_1 + v_2 = 52 :
    40+v2=52⇒v2=52−40=12 km/h40 + v_2 = 52 \quad \Rightarrow \quad v_2 = 52 - 40 = 12 \text{ km/h}

    Kết luận:

    • Vận tốc của xe máy là v1=40v_1 = 40 km/h.
    • Vận tốc của xe đạp là v2=12 v_2 = 12 km/h.
     
    Xem Các Ví dụ khác về Toán Chuyển Động

    6. Tính Công Lượng Công Việc và Năng Suất

     
    Tính công ở đây có thể hiểu theo hai nghĩa: tính công trong vật lý và tính công trong lượng công việc (tính tiền lương cho công việc).

    A. Tính công suất

    Công thức tính công suất: Với:
    notion image
    Ví dụ: Một người đẩy một vật với lực 50 N trên quãng đường 10 m trong 5 giây. Tính công và công suất:
    • Công thực hiện:
        • notion image
    • Công suất:
        • notion image

    B. Tính lượng công việc (Tính lương)

     
    👨🏻‍🎓
    Trong bài toán thực tế, tính lượng công việc chủ yếu liên quan đến tính lương dựa trên thời gian làm việc, mức lương cơ bản, và giờ làm thêm.
     
    Ví dụ: Một công nhân làm việc với mức lương cơ bản 200.000 đồng cho 8 giờ làm việc mỗi ngày. Trong tháng người đó làm 26 ngày và tăng ca thêm 3 giờ/ngày trong 10 ngày. Lương tăng ca tính theo tỉ lệ 150% so với lương giờ thường.
     
    Gọi x và y là tổng lương cơ bản và tổng lương tăng ca mà người này nhận được
    • Tổng Lương cơ bản:(đồng}
    notion image
    mức lương cơ bản là: (đồng/giờ)
    notion image
    • Tổng Lương tăng ca là(đồng}
    notion image
    • Tổng lương:
        • notion image
     
    Như vậy, người công nhân sẽ nhận được tổng cộng 6.325.000 đồng cho tháng đó.
     

    C. Năng Suất

     
    Bài toán năng suất liên quan đến việc tính toán thời gian hoàn thành công việc dựa trên năng suất của mỗi người hoặc máy móc.
    Ví dụ:
    Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ hoàn thành 25% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu hoàn thành công việc?
     
    Bước 1: Đặt x là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình và y là thời gian người thứ hai hoàn thành công việc một mình.
    Khi đó, năng suất của người thứ nhất là 1x\frac{1}{x}
    năng suất của người thứ hai là 1y\frac{1}{y} Bước 2: Tổg năng suất của hai người làm chung là 1x+1y=116 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} Người thứ nhất làm 3 giờ, nên phần công việc người thứ nhất làm được là
    3x \frac{3}{x}
    Người thứ hai làm 6 giờ, nên phần công việc người thứ hai làm được là 6y \frac{6}{y}
    Tổng phần công việc mà họ đã làm là:
    notion image
    Lập hệ phương trình:
    notion image
    notion image
    Giải hệ phương trình được .
    notion image
    notion image
     
    Kết quả: Người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, còn người thứ hai làm xong trong 48 giờ.
     
    Xem Thêm
    Các dạng toán thực tế nâng cao: Tính năm , Số lượng, Cấu tạo số
     
     
    Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
     

    Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

     
    notion image
     
    LIÊN HỆ
    📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
    📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
    🌍 toancodiem.com
     
    Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
    📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
    Hỗ Trợ  Học Viên
    📞+84-765-359-411 (anh Quân)
     
    Shin Hoàng

    Bài Liên Quan

    Hệ Thống Kiến Thức : Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình | Toán Lớp 9 | Chương 2

    Hệ Thống Kiến Thức : Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình | Toán Lớp 9 | Chương 2
    Shin Hoàng
    Dec 1, 2024

    Hệ thống kiến thức về bất đẳng thức và bất phương trình bậc nhất trong toán lớp 9, bao gồm khái niệm cơ bản, phân loại, phép biến đổi tương đương, và các phương pháp giải cùng với các bài tập ví dụ để giúp học sinh nắm vững kiến thức và chuẩn bị cho các bài kiểm tra.

    Đại Số Lớp 9 HTKT BĐT
    Phương Pháp: Rút gọn biểu thức căn hai lớp bằng cách đưa về bình phương đúng | Toán Lớp 9 | Chương 3

    Phương Pháp: Rút gọn biểu thức căn hai lớp bằng cách đưa về bình phương đúng | Toán Lớp 9 | Chương 3
    Shin Hoàng
    Dec 1, 2024

    Hướng dẫn giải bài tập biến đổi căn thức dạng nâng cao : Căn hai lớp cho học sinh lớp 9, bao gồm các bước rút gọn, khai phương và sử dụng biểu thức liên hợp. Tài liệu cung cấp ví dụ và bài tập tự luyện, giúp học sinh phát triển kỹ năng từ cơ bản đến nâng cao trong toán học.

    Đại Số Lớp 9 HTKT Bài Mẫu Dạng
    Hệ Thống Kiến Thức: 4 Dạng Toán Biến Đổi Căn Thức Trong Chương trình mới | Toán Lớp 9 | Chương 3

    Hệ Thống Kiến Thức: 4 Dạng Toán Biến Đổi Căn Thức Trong Chương trình mới | Toán Lớp 9 | Chương 3
    Shin Hoàng
    Dec 1, 2024

    Qua bài này các em sẽ được tìm hiểu các dạng bài căn thức sẽ gặp trong các đề thi Học kì và kì thi khác.Thông qua các ví dụ cụ thể, các em sẽ được cung cấp phương pháp và bước giải cụ thể cho từng dạng bài một.

    Đại Số Lớp 9 HTKT Dạng