Bài viết hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phương pháp suy luận ngược trong chứng minh hình học phổ thông. Từ khái niệm cơ bản đến các bước thực hiện cụ thể, bạn sẽ khám phá cách áp dụng suy luận ngược để giải quyết các bài toán khó, phát triển tư duy sáng tạo, và chứng minh các định lý mới.
Cách Suy Luận Ngược và Ứng Dụng vào Chứng Minh Hình Học Phổ Thông
1. Khái Niệm Suy Luận Ngược
Suy luận ngược, hay còn gọi là suy luận từ kết luận về giả thiết, là phương pháp trong logic và toán học mà ta tìm cách xác định điều kiện cần thiết để một kết luận đúng.
Thay vì chứng minh một mệnh đề từ giả thiết, ta bắt đầu từ kết luận cần chứng minh và “lùi lại” để kiểm tra những điều kiện có thể dẫn đến kết luận đó.
Trong chứng minh hình học, suy luận ngược thường được sử dụng khi chúng ta biết kết quả cần đạt được (ví dụ: một định lý, hoặc một mối quan hệ hình học), và cần tìm các giả thiết hoặc điều kiện phù hợp.
2. Các Bước Suy Luận Ngược trong Chứng Minh Hình Học
Để áp dụng suy luận ngược trong chứng minh hình học, ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác Định Kết Quả Cần Chứng Minh
Trước tiên, xác định rõ kết quả mà bạn muốn chứng minh.
Đây có thể là một đẳng thức hình học, một mối quan hệ giữa các yếu tố hình học, hoặc một tính chất của một đối tượng hình học
(chẳng hạn: đường thẳng vuông góc, ba điểm đồng thẳng, v.v.).
Bước 2: Xác Định Điều Kiện Cần Thiết
Sau khi biết kết quả cần chứng minh, ta sẽ bắt đầu suy nghĩ về những điều kiện cần thiết để kết quả đó đúng.
Chẳng hạn:
• Nếu bạn cần chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc, điều kiện cần thiết có thể là hai góc vuông hoặc hai đường thẳng cắt nhau tại một góc 90 độ.
• Nếu bạn cần chứng minh rằng một tam giác vuông là tam giác đều, điều kiện cần thiết là tất cả ba cạnh của tam giác phải bằng nhau.
Bước 3: Áp Dụng Các Định Lý, Hệ Thức Đã Biết
Dựa trên điều kiện cần thiết, bạn sẽ tìm kiếm các định lý hình học hoặc các hệ thức có sẵn có thể áp dụng để dẫn đến kết quả cần chứng minh. Ví dụ:
• Định lý Pythagoras có thể giúp chứng minh tính vuông góc trong một tam giác vuông.
• Định lý đồng dạng tam giác có thể được sử dụng để chứng minh sự bằng nhau của các cạnh hoặc góc trong các tam giác.
Bước 4: Thực Hiện Các Phép Biến Hình và Kiểm Tra Tính Hợp Lý
Sau khi áp dụng các định lý, bạn tiến hành các Chứng minh hoặc tính toán để kiểm tra xem kết luận có thực sự đúng không. Nếu có sự mâu thuẫn hoặc không khớp với điều kiện đầu, bạn sẽ cần phải điều chỉnh các giả thiết hoặc chọn phương pháp khác.
3. Ví Dụ Cụ Thể:
Ví Dụ 1
Đề bài:
Cho hình vuông
. Trên các tia
và
, lấy các điểm
và
sao cho
.
a) Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi
là trung điểm của
. Chứng minh rằng các bộ bốn điểm
và
cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh
thẳng hàng.
Câu a
💬Nhận xét:
ta thấy M, N là điểm bất kì trên hai tia CB, CD tương tự trường hợp giả thiết cho một góc ( 1 ).
Khi có 1 góc, bước đầu tiên ta cần làm xác định điều kiện cần - góc vuông là góc nào, trong trường hợp này là góc BCD.
Tiếp theo ta xác định có điều kiện đủ là hai điểm M,N di động trên hai tia CB,CD.
Vậy theo định lý, 3 điểm C,M, N sẽ thuộc đường tròn đường kính MN
Việc ta cần chứng minh là A cũng thuộc đường tròn đường kính MN
Nếu A thuộc đường tròn đường kính MN thì khi và chỉ khi theo định lý 1.1 góc MAN phải bằng 90º.
Điều này đúng theo giả thiết.
Vậy bài toán đã được giải xong
Hướng dẫn: kéo thanh trượt để thay đổi hình
Trình bày
Góc
vuông tại
, thỏa mãn điều kiện định lý 1.1.
Đường tròn đi qua
có đường kính
Ta có
theo giả thiết
Vậy
thuộc cùng một đường tròn.
Câu b
Nhận xét:
Xét bộ ( A,N,D,O) , ta thấy có 1 góc vuông là góc NAD.
Lý luận tương tự suy ra 3 điểm A,N, D thuộc đường tròn đường kính AN.
Nếu O cũng thuộc đường tròn đường kính AN thì theo đinh lý góc AON phải vuông, hay AO⊥ON
Vậy hai tam giác vuông ADN và ABM. bằng nhau (g-c-g) suy ra AM = AN suy ra tam giác AMN cân tại A suy ra AO⊥ON suy ra điều phải chứng minh
Tương tự với bộ 4 điểm còn lại
Trình bày
Xét bộ điểm
.
– Góc
vuông tại
, suy ra
thuộc đường tròn đường kính
.
–
cũng thuộc đường tròn này, khi và chỉ khi
.
–ta chứng minh
Theo giả thiết:
là trung điểm
Điều cần chứng minh tương đương với
tam giác
cân tại
.
Tương đương
.
Xét hai tam giác vuông
và
có:
(góc bằng).
(hình vuông).
Suy ra
. Do đó,
.
Vậy
thuộc cùng một đường tròn.
💡
Nhận xét
Cách “Cố định” một yếu tố (điều kiện cần) và tìm các điều kiện tiếp theo (điều kiện đủ) để chứng minh như ví dụ trên giúp chúng ta suy luận một cách có hệ thống và mạch lạc, không bị rối, đặc biệt khi bài toán đòi hỏi phải chứng minh nhiều bước trung gian.
4. Lợi Ích Của Suy Luận Ngược trong Chứng Minh Hình Học
Giúp giải quyết các bài toán khó: Phương pháp suy luận ngược có thể giúp xác định những giả thiết chưa rõ ràng hoặc khó nhìn thấy trong một bài toán hình học.
Khả năng sáng tạo cao: Phương pháp này yêu cầu tư duy sáng tạo và khả năng liên kết các kiến thức toán học với nhau, giúp phát triển khả năng giải quyết vấn đề.
Hỗ trợ trong việc chứng minh các định lý mới: Đối với các bài toán chứng minh các định lý hoặc công thức mới, suy luận ngược giúp tìm ra các điều kiện cần thiết cho các kết quả đã biết.
5. Kết Luận
Suy luận ngược là một công cụ mạnh mẽ trong chứng minh hình học, đặc biệt khi bạn cần làm việc với các giả thiết chưa rõ ràng hoặc các kết quả chưa được chứng minh. Bằng cách áp dụng phương pháp này, bạn có thể mở rộng khả năng tư duy và giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.
Các em lớp 8 và 9 sẽ tự hệ thống được kiến thức định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của các hình tứ giác đặc biệt và cách ghi nhớ không quên kiến thức sau khi đọc xong bài hướng dẫn này
Phương pháp đưa về bình phương đúng là một kỹ thuật chuyển đổi một biểu thức bậc hai thành bình phương của một biểu thức.
Cách này giúp bạn dễ dàng tìm được nghiệm mà không cần dùng công thức nghiệm tổng quát, ngoài ra còn đặc biệt hữu dụng ch
Bài viết sẽ hướng dẫn chi tiết các bước thực hiện cùng ví dụ minh họa cụ thể.
Cuốn sách "Phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Phần 3" hướng dẫn các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, bao gồm chứng minh riêng, xét khoảng giá trị, đổi biến, và đổi vai trò biến. Mỗi phương pháp giúp học sinh áp dụng lý thuyết vào thực tiễn và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng.
Made with Bullet
