Dưới đây là bài số 3 trong chuỗi bài hướng dẫn chi tiết về Sử dụng đẳng thức chứng minh bất đằng thức
Đẳng thức thường gặp 3 Xuất phát từ hai hằng đẳng thức đơn giản:
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ; ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} ;(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ; ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 Từ đẳng thức này ta có các kết quả sau:
Kết quả 3.1.
2 ( a 2 + b 2 ) = ( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 ≥ ( a + b ) 2 2\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2} \geq(a+b)^{2} 2 ( a 2 + b 2 ) = ( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 ≥ ( a + b ) 2 Kết quả 3.2.
4 a b = ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ≤ ( a + b ) 2 4 a b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2} \leq(a+b)^{2} 4 ab = ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ≤ ( a + b ) 2
Kết quả 3.3 .
a 2 − a b + b 2 ≥ 1 3 ( a 2 + a b + b 2 ) a^{2}-a b+b^{2} \geq \frac{1}{3}\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) a 2 − ab + b 2 ≥ 3 1 ( a 2 + ab + b 2 )
Do
3 ( a 2 − a b + b 2 ) − ( a 2 + a b + b 2 ) = 2 ( a − b ) 2 ≥ 0 3\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)-\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=2(a-b)^{2} \geq 0 3 ( a 2 − ab + b 2 ) − ( a 2 + ab + b 2 ) = 2 ( a − b ) 2 ≥ 0 Kết quả 3.4.
m ( a 2 + b 2 ) + n a b = 2 m + n 4 ( a + b ) 2 + 2 m − n 4 ( a − b ) 2 m\left(a^{2}+b^{2}\right)+n a b=\frac{2 m+n}{4}(a+b)^{2}+\frac{2 m-n}{4}(a-b)^{2} m ( a 2 + b 2 ) + nab = 4 2 m + n ( a + b ) 2 + 4 2 m − n ( a − b ) 2
Chứng minh kết quả 3.4
Thật vậy:
2 m + n 4 ( a + b ) 2 + 2 m − n 4 ( a − b ) 2 = ( 2 m + n 4 + 2 m − n 4 ) ( a 2 + b 2 ) + ( 2 m + n 4 − 2 m − n 4 ) ⋅ 2 a b = m ( a 2 + b 2 ) + n ⋅ a b \begin{aligned}\frac{2 m+n}{4}(a+b)^{2}+\frac{2 m-n}{4}(a-b)^{2} & =\left(\frac{2 m+n}{4}+\frac{2 m-n}{4}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(\frac{2 m+n}{4}-\frac{2 m-n}{4}\right) \cdot 2 a b \\& =m\left(a^{2}+b^{2}\right)+n \cdot a b\end{aligned} 4 2 m + n ( a + b ) 2 + 4 2 m − n ( a − b ) 2 = ( 4 2 m + n + 4 2 m − n ) ( a 2 + b 2 ) + ( 4 2 m + n − 4 2 m − n ) ⋅ 2 ab = m ( a 2 + b 2 ) + n ⋅ ab
Ví dụ và bài tập Bài tập 1. Cho các số thực a , b , c ∈ [ 0 ; 1 ] a, b, c \in[0 ; 1] a , b , c ∈ [ 0 ; 1 ] . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
P = c 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 + a 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 + b 2 ( c 2 + a 2 ) + 1 . \mathrm{P}=\frac{\mathrm{c}}{\sqrt{2\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}+1}+\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2\left(\mathrm{~b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\sqrt{2\left(\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}\right)}+1} . P = 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 c + 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 a + 2 ( c 2 + a 2 ) + 1 b .
Hướng dẫn giải
Áp dụng kết quả 1 ta được:
2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2 ⇒ 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ a + b 2\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right) \geq(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2} \Rightarrow \sqrt{2\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)} \geq \mathrm{a}+\mathrm{b} 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2 ⇒ 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ a + b
Lai do
c ∈ [ 0 ; 1 ] ⇒ c ≤ 1 ⇒ 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 ≥ a + b + c ⇒ c 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 ≤ c a + b + c c \in[0 ; 1] \Rightarrow c \leq 1 \\\Rightarrow \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}+1 \geq a+b+c \\\Rightarrow \frac{c}{\sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}+1} \leq \frac{c}{a+b+c} c ∈ [ 0 ; 1 ] ⇒ c ≤ 1 ⇒ 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 ≥ a + b + c ⇒ 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 c ≤ a + b + c c Tương tự:
a 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 ≤ a a + b + c \frac{a}{\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}+1} \leq \frac{a}{a+b+c} 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 a ≤ a + b + c a b 2 ( c 2 + a 2 ) + 1 ≤ b a + b + c \frac{b}{\sqrt{2\left(c^{2}+a^{2}\right)}+1} \leq \frac{b}{a+b+c} 2 ( c 2 + a 2 ) + 1 b ≤ a + b + c b
Cộng theo vế ta được:
P ≤ a + b + c a + b + c = 1 \mathrm{P} \leq \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}=1 P ≤ a + b + c a + b + c = 1 Dâu " =" xảy ra khi
a = b = c = 1 \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=1 a = b = c = 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 1
Bài tập 2. Cho a , b , c \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T = a 2 a 2 + ( b + c ) 2 + b 2 b 2 + ( c + a ) 2 + c 2 c 2 + ( a + b ) 2 T=\frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}} T = a 2 + ( b + c ) 2 a 2 + b 2 + ( c + a ) 2 b 2 + c 2 + ( a + b ) 2 c 2
Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức ở kết quả 1:
( b + c ) 2 ≤ 2 ( b 2 + c 2 ) ; ( a + b ) 2 ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) ; ( c + a ) 2 ≤ 2 ( c 2 + b 2 ) , (b+c)^{2} \leq 2\left(b^{2}+c^{2}\right) ; \quad(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2} \leq 2\left(a^{2}+b^{2}\right) ; \quad(\mathrm{c}+\mathrm{a})^{2} \leq 2\left(c^{2}+b^{2}\right), \quad ( b + c ) 2 ≤ 2 ( b 2 + c 2 ) ; ( a + b ) 2 ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) ; ( c + a ) 2 ≤ 2 ( c 2 + b 2 ) , ta có:
T ≥ a 2 a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) + b 2 b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) + c 2 c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) T \geq \frac{a^{2}}{a^{2}+2\left(b^{2}+c^{2}\right)}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2\left(a^{2}+c^{2}\right)}+\frac{c^{2}}{c^{2}+2\left(a^{2}+b^{2}\right)} T ≥ a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) a 2 + b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) b 2 + c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) c 2 ⇒ T + 3 ≥ ( a 2 a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 ) + ( b 2 b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) + 1 ) + ( c 2 c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 ) \Rightarrow T+3 \geq\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+2\left(b^{2}+c^{2}\right)}+1\right)+\left(\frac{b^{2}}{b^{2}+2\left(a^{2}+c^{2}\right)}+1\right)+\left(\frac{c^{2}}{c^{2}+2\left(a^{2}+b^{2}\right)}+1\right) ⇒ T + 3 ≥ ( a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) a 2 + 1 ) + ( b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) b 2 + 1 ) + ( c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) c 2 + 1 ) = 2 5 ⋅ [ 5 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( 1 a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) + 1 b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) + 1 c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) ) ] =\frac{2}{5} \cdot [5\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{a^{2}+2\left(b^{2}+c^{2}\right)}+\frac{1}{b^{2}+2\left(a^{2}+c^{2}\right)}+\frac{1}{c^{2}+2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right)] = 5 2 ⋅ [ 5 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a 2 + 2 ( b 2 + c 2 ) 1 + b 2 + 2 ( a 2 + c 2 ) 1 + c 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) 1 ) ]
Áp dụng bất đẳng thức BCS cho ba bộ số dương
m , n , p \mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p} m , n , p và
1 m , 1 n , 1 p \frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{p} m 1 , n 1 , p 1 ta được:
( m + n + p ) ( 1 m + 1 n + 1 p ) ≥ 3. m n p 3 ⋅ 1 m n p 3 = 9 (m+n+p)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right) \geq 3 . \sqrt[3]{m n p} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{m n p}}=9 ( m + n + p ) ( m 1 + n 1 + p 1 ) ≥ 3. 3 mn p ⋅ 3 mn p 1 = 9 Suy ra:
T + 3 ≥ 2 5 . 9 ⇔ T ≥ 3 5 T+3 \geq \frac{2}{5} .9 \Leftrightarrow T \geq \frac{3}{5} T + 3 ≥ 5 2 .9 ⇔ T ≥ 5 3 Đẳng thức xảy ra khi
a = b = c \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} a = b = c Vậy giá trị nhỏ nhất của T là
3 5 \frac{3}{5} 5 3 khi
a = b = c \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} a = b = c .
Bài tập 3. Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn ( a + b ) 3 + 4 a b = 2 (\mathrm{a}+\mathrm{b})^{3}+4 \mathrm{ab}=2 ( a + b ) 3 + 4 ab = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P = 10 a + 6 b + 2 a + 1 b P=10 a+6 b+\frac{2}{a}+\frac{1}{b} P = 10 a + 6 b + a 2 + b 1
Hướng dẫn Từ giả thiết , áp dụng kết quả 2 ta được:
2 = ( a + b ) 3 + 4 a b = ( a + b ) 3 + ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ≤ ( a + b ) 3 + ( a + b ) 2 ⇔ ( a + b ) 3 − 1 + ( a + b ) 2 − 1 ≥ 0 ⇔ ( a + b − 1 ) [ ( a + b ) 2 + ( a + b ) + 1 + ( a + b + 1 ) ] ≥ 0 ⇔ ( a + b − 1 ) [ ( a + b ) 2 + 1 ] ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 1 \begin{aligned}& 2=(a+b)^{3}+4 a b=(a+b)^{3}+(a+b)^{2}-(a-b)^{2} \leq(a+b)^{3}+(a+b)^{2} \\& \Leftrightarrow(a+b)^{3}-1+(a+b)^{2}-1 \geq 0 \\& \Leftrightarrow(a+b-1)\left[(a+b)^{2}+(a+b)+1+(a+b+1)\right] \geq 0 \\& \Leftrightarrow(a+b-1)\left[(a+b)^{2}+1\right] \geq 0 \\& \Leftrightarrow a+b \geq 1\end{aligned} 2 = ( a + b ) 3 + 4 ab = ( a + b ) 3 + ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ≤ ( a + b ) 3 + ( a + b ) 2 ⇔ ( a + b ) 3 − 1 + ( a + b ) 2 − 1 ≥ 0 ⇔ ( a + b − 1 ) [ ( a + b ) 2 + ( a + b ) + 1 + ( a + b + 1 ) ] ≥ 0 ⇔ ( a + b − 1 ) [ ( a + b ) 2 + 1 ] ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 1
Ta có:
P = 10 a + 6 b + 2 a + 1 b = ( 8 a + 2 a ) + ( 4 b + 1 b ) + 2 ( a + b ) ≥ 2 8 a ⋅ 2 a + 2 4 b ⋅ 1 a + 2 ⋅ 1 = 8 + 4 + 2 = 14 P=10 a+6 b+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\left(8 a+\frac{2}{a}\right)+\left(4 b+\frac{1}{b}\right)+2(a+b) \geq 2 \sqrt{8 a \cdot \frac{2}{a}}+2 \sqrt{4 b \cdot \frac{1}{a}}+2 \cdot 1=8+4+2=14 P = 10 a + 6 b + a 2 + b 1 = ( 8 a + a 2 ) + ( 4 b + b 1 ) + 2 ( a + b ) ≥ 2 8 a ⋅ a 2 + 2 4 b ⋅ a 1 + 2 ⋅ 1 = 8 + 4 + 2 = 14
Dấu "
= = = " xảy ra khi :
a = b = 1 2 \mathrm{a}=\mathrm{b}=\frac{1}{2} a = b = 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 14 .
Bài tập 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c ≥ 6 a+b+c \geq 6 a + b + c ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a 3 a 2 + a b + b 2 + b 3 b 2 + b c + c 2 + c 3 c 2 + c a + a 2 P=\frac{a^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} P = a 2 + ab + b 2 a 3 + b 2 + b c + c 2 b 3 + c 2 + c a + a 2 c 3 Hướng dẫn Đặt
Q = b 3 a 2 + a b + b 2 + c 3 b 2 + b c + c 2 + a 3 c 2 + c a + a 2 Q=\frac{b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} Q = a 2 + ab + b 2 b 3 + b 2 + b c + c 2 c 3 + c 2 + c a + a 2 a 3 Ta có:
P − Q = a 3 − b 3 a 2 + a b + b 2 + b 3 − c 3 b 2 + b c + c 2 + c 3 − a 3 c 2 + c a + a 2 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a 2 + a b + b 2 + ( b − c ) ( b 2 + b c + c 2 ) b 2 + b c + c 2 + ( c − a ) ( c 2 + c a + a 2 ) c 2 + c a + a 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0 \begin{aligned}P-Q & =\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \\& =\frac{(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{(b-c)\left(b^{2}+b c+c^{2}\right)}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{(c-a)\left(c^{2}+c a+a^{2}\right)}{c^{2}+c a+a^{2}} \\& =(a-b)+(b-c)+(c-a) \\& =0\end{aligned} P − Q = a 2 + ab + b 2 a 3 − b 3 + b 2 + b c + c 2 b 3 − c 3 + c 2 + c a + a 2 c 3 − a 3 = a 2 + ab + b 2 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + b 2 + b c + c 2 ( b − c ) ( b 2 + b c + c 2 ) + c 2 + c a + a 2 ( c − a ) ( c 2 + c a + a 2 ) = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0
Do đó:
P = Q \mathrm{P}=\mathrm{Q} P = Q Mặt khác (theo kết quả 3 ):
x 2 − x y + y 2 ≥ 1 3 ( x 2 + x y + y 2 ) ( ∗ ∗ ) x^{2}-x y+y^{2} \geq \frac{1}{3}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)(* *) x 2 − x y + y 2 ≥ 3 1 ( x 2 + x y + y 2 ) ( ∗ ∗ ) ta được:
P + Q = a 3 + b 3 a 2 + a b + b 2 + b 3 + c 3 b 2 + b c + c 2 + c 3 + a 3 c 2 + c a + a 2 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 2 + a b + b 2 + ( b + c ) ( b 2 − b c + c 2 ) b 2 + b c + c 2 + ( c + a ) ( c 2 − c a + a 2 ) c 2 + c a + a 2 ≥ 1 3 ( a + b ) + 1 3 ( b + c ) + 1 3 ( c + a ) = 2 3 ( a + b + c ) ≥ 2 3 ⋅ 6 = 4 \begin{array}{l}\begin{array}{rl}P+Q & =\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+c a+a^{2}} \\& =\frac{(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)}{a^{2}+a b+b^{2}}+\frac{(b+c)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)}{b^{2}+b c+c^{2}}+\frac{(c+a)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)}{c^{2}+c a+a^{2}} \\\geq & \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)\end{array} \\=\frac{2}{3}(a+b+c) \geq \frac{2}{3} \cdot 6=4\end{array} P + Q ≥ = a 2 + ab + b 2 a 3 + b 3 + b 2 + b c + c 2 b 3 + c 3 + c 2 + c a + a 2 c 3 + a 3 = a 2 + ab + b 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) + b 2 + b c + c 2 ( b + c ) ( b 2 − b c + c 2 ) + c 2 + c a + a 2 ( c + a ) ( c 2 − c a + a 2 ) 3 1 ( a + b ) + 3 1 ( b + c ) + 3 1 ( c + a ) = 3 2 ( a + b + c ) ≥ 3 2 ⋅ 6 = 4 M a ˋ P = Q ⇒ P ≥ 2 \text { Mà } P=Q \Rightarrow P \geq 2 M a ˋ P = Q ⇒ P ≥ 2 Dấu "=" xảy ra khi
a = b = c = 2 \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=2 a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 .
Bài tập 5. Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a 2 − a b + b 2 = 1 \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}=1 a 2 − ab + b 2 = 1 . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + 3 a b ≤ 5 a^{3}+b^{3}+3 a b \leq 5 a 3 + b 3 + 3 ab ≤ 5 Hướng dẫn Ta có
a 2 − a b + b 2 = 1 ⇔ 1 = ( a + b ) 2 − 3 a b ≥ ( a + b ) 2 − 3 4 ( a + b ) 2 = 1 4 ( a + b ) 2 ⇒ a + b ≤ 2 \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}=1 \Leftrightarrow 1=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 \mathrm{ab} \geq(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\frac{3}{4}(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}=\frac{1}{4}(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}\\
\Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b} \leq 2 a 2 − ab + b 2 = 1 ⇔ 1 = ( a + b ) 2 − 3 ab ≥ ( a + b ) 2 − 4 3 ( a + b ) 2 = 4 1 ( a + b ) 2 ⇒ a + b ≤ 2 Do đó:
a 3 + b 3 + 3 a b = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) + 3 a b = a + b + 3 a b ≤ a + b + 3 4 ( a + b ) 2 ≤ 2 + 3 4 . 4 = 5 a^{3}+b^{3}+3 a b=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)+3 a b=a+b+3 a b \leq a+b+\frac{3}{4}(a+b)^{2} \leq 2+\frac{3}{4} .4=5 a 3 + b 3 + 3 ab = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) + 3 ab = a + b + 3 ab ≤ a + b + 4 3 ( a + b ) 2 ≤ 2 + 4 3 .4 = 5 Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
a = b = 1 \mathrm{a}=\mathrm{b}=1 a = b = 1 .
Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)
Made with Bullet
