Sử Dụng Đẳng Thức Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức (Phần 1)

Sử Dụng Đẳng Thức Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức (Phần 1)

Bài viết trình bày phương pháp sử dụng các đẳng thức quen thuộc trong chứng minh bất đẳng thức, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết và bài tập vận dụng. Đây là phần 1 trong chuỗi chuyên đề dành cho học sinh yêu thích toán học, đặc biệt là các bạn đang ôn thi vào lớp chuyên.

Dec 6, 2024
 

 
Trong nhiều bài toán về bất đẳng thức, người ta thường lồng ghép một số đẳng thức quen thuộc nhằm làm tăng độ khó. Sau đây là một số đẳng thức đáng nhớ
 

Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết về
Chuyên đề:

SỬ DỤNG ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (Phần 1)


 
Các bài cùng chủ đề

A. Đẳng thức đáng nhớ 1

Với
notion image
là các số thực, ta có:
notion image

/ Hệ quả

 
Từ đẳng thức này, ta có các kết quả sau:
  1. Nếu
    1. notion image
      thì
      notion image
  1. Nếu
    1. notion image
      thì
      notion image
       
  1. Nếu
    1. notion image
      thì
      notion image
  1. Nếu
    1. notion image
      thì
      notion image

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (hệ quả 1.1)

 
Cho ba số thực
notion image
thỏa mãn
notion image
Chứng minh rằng:
notion image
 
Hướng dẫn giải
 
Do
notion image
 
nên:
notion image
 
Tương tự:
notion image
 
Do đó:
notion image
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 
Đẳng thức xảy ra khi một trong ba số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau.

Ví dụ 2 (Đẳng thức 1)

 
Cho
notion image
thỏa mãn
notion image
 
Chứng minh rằng:
notion image
 
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
 
notion image
 
Tương tự, chứng minh được:
notion image
notion image
 
Cộng các bất đẳng thức trên, ta được:
notion image
 
Dấu "=" xảy ra khi
notion image
 
Vậy giá trị lớn của
notion image
notion image

Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=2016. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

notion image
(Trích đề vào 10 Chuyên Hà Tĩnh năm 2016-2017)
 
Hướng dẫn giải
Ta có
notion image
 
Áp dụng bđt BCS  ta có:
 
notion image
Suy ra
notion image
 
Suy ra
notion image
 
Tương tự
notion image
notion image
 
Suy ra
notion image
 
Dấu = xảy ra khi
notion image

 

Ví dụ 4. Cho các số thực dương

notion image
thỏa mãn
notion image
.
 
Tìm GTNN của P với
notion image
(Trích đề vào 10 Chuyên Quảng Bình năm 2015-2016)
 
Hướng dẫn
Thay 11=ab+ac+bc11 = ab+ac+bc vào P , ta có:
 
notion image
 
notion image
 
notion image
 
 
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số không âm, ta có:
notion image
Tương tự:
notion image
notion image
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có
notion image
 
Từ ( * ) và ( ** ) ta có
notion image
Dấu bằng xảy ra
notion image
notion image
notion image
Vậy GTNN của P là
notion image
, đạt được khi
notion image
.
 

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a+3b+2c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

notion image
Hướng dẫn
Giả thiết của bài toán được viết lại thành
notion image
.
Đặt
notion image
notion image
;
notion image
, khi đó ta được
notion image
Biểu thức BB được viết lại thành
notion image
Để ý đến giả thiết
notion image
ta có
notion image
Hoàn toàn tương tự ta được
notion image
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
notion image
notion image
notion image
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
notion image
 
Đáp án:
giá trị lớn nhất của B là
notion image
.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
notion image

 

Ví dụ 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

notion image
 
Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta được:
notion image
 
notion image
 
 
notion image
 
notion image
 
notion image
 
notion image
 
notion image
 
Bất đẳng thức được chứng minh đẳng thức xảy ra khi
 
notion image
 

C. Bài Tập

 

Bài 1. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rẳng:

notion image
Hướng dẫn giải
Áp dụng giả thiết ta được
notion image
Đặt a=(x+y)(y+z);b=(y+z)(z+x);c=(x+y)(z+x)a=(x+y)(y+z) ; b=(y+z)(z+x) ; c=(x+y)(z+x), khi đó ta viết lại được bất đẳng thức thành
notion image
 
 

Bài 2. Cho số thực

 
notion image
.Chứng minh rằng

.

notion image
Hướng dẫn giải
Đặt
notion image
ta có
notion image
và BĐT đã trở thành:
notion image
Vậy BĐT được chứng minh.

 
 
 

Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
 
 
 
 
 

 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)