15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 5: Giới thiệu Toán thực tế : Tỷ lệ, phần trăm, mua bán, lời lỗ

1. Lý Thuyết: Tỷ lệ, phần trăm, Mua Bán, Lợi Nhuận Trong Kinh Doanh

• Tỷ lệ: Biểu thị mối quan hệ giữa hai đại lượng. Tỷ lệ có thể được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.

• Phần trăm: Số phần trong mỗi 100 phần của một ĐẠI LƯỢNG
💡
Đại lượng: Khi gặp các bài toán phần trăm, lưu ý đề cho % CỦA cái gì. Ví dụ: giảm 20% trên tổng hoá đơn khác với giảm 20% trên món hàng thứ ba.

• Mua bán và lời lỗ: Tính toán dựa trên giá mua, giá bán và số lượng hàng hóa.
• Lợi nhuận:
Lợi nhuận= Giá bán − (Giá mua+ Chi Phí)
• Tỷ lệ lợi nhuận:
$$\text{Tỷ lệ lợi nhuận}= \frac{\text{Lợi nhuận}}{\text{(Doanh thu)}} ×100$$%

2. Các bước giải tổng quát

Bước 1: Bước Quan Trọng nhấtXác định đại lượng và quan hệ của các đại lượng bằng Phương pháp Kẻ Bảng

• Quan hệ của các đại lượng là gì và tại sao xác định được nó là đã “xong 50%” một bài toán Thực Tế? (các bạn nào đang gấp có thể bỏ qua phần này)
Tỉ lệ: Bài toán Đo đạc, kiến trúc và Hình học : Thời Kim Tự Tháp Ai Cập
Lịch Sử Phát Triển:
• Thời Ai Cập và Babylon: Người Ai Cập và Babylon đã sử dụng các tỷ lệ trong các phép đo và tính toán hàng ngày. Ví dụ, các kỹ sư Ai Cập sử dụng tỷ lệ để thiết kế và xây dựng các kim tự tháp.
• Hy Lạp Cổ Đại: Nhà toán học Hy Lạp Euclid đã đóng góp rất lớn vào sự phát triển của khái niệm tỷ lệ thông qua tác phẩm "Elements" (Các yếu tố) vào khoảng năm 300 TCN. Euclid đã đưa ra các định nghĩa và tính chất của tỷ lệ trong hình học, điều này đặt nền tảng cho toán học hiện đại.
• Thời Trung Cổ và Phục Hưng: Tỷ lệ tiếp tục được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kiến trúc, nghệ thuật, và tài chính. Các nhà toán học thời kỳ này đã mở rộng khái niệm tỷ lệ sang các lĩnh vực mới và tìm ra các ứng dụng mới.
💡
Vì vậy, các bạn sẽ thấy trong các đề 2024 Tỉ lệ phổ biến với các bài toán Đo đạc (tính khoảng cách,chiều cao); Hình Học (do cha đẻ của hình học phẳng Euclid cũng 🥰 Tỉ lệ),Tính công, công suất (do thời xưa chưa có máy chấm công nên cần Tỉ lệ)
Phần trăm: Bài toán Tài chính, Ngân Hàng và Lãi Suất:
Lịch Sử Phát Triển:
• Thời Cổ Đại: Người La Mã và Ai Cập đã sử dụng các khái niệm tương tự phần trăm trong các giao dịch thương mại và tính toán thuế. Tuy nhiên, họ không sử dụng ký hiệu "%" như chúng ta biết ngày nay.
• Thời Trung Cổ: Khái niệm phần trăm được phát triển và phổ biến hơn trong thời Trung Cổ, khi các thương nhân và ngân hàng ở châu Âu cần một phương pháp chuẩn hóa để tính toán lãi suất và lợi nhuận
• Thế Kỷ 17-18: Ký hiệu "%" được giới thiệu và trở nên phổ biến trong các tài liệu toán học và tài chính. Đây là thời điểm mà phần trăm được chính thức hóa và chuẩn hóa như một phần của toán học cơ bản.
 
💡
Ngược lại các bạn sẽ thấy Phần Trăm, phổ biến với các bài toán Kinh Tế (tăng giảm giá, lợi nhuận,lãi suất); Khoa học (các bài toán cho kèm công thức hoặc đồ thị) (do ra đời sau và chính xác hơn)

• Nguyên tắc “Mua 2 tặng 1” trong các bài toán Tỉ lệ/ Phần Trăm

Ví dụ 1:

Một lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Tính tỷ lệ học sinh nam so với tổng số học sinh.

Đại Lượng Cho Sẵn	Đại lượng ẩn	Quan hệ
Nam, nữ	“cả lớp” hay nam + nữ	Nam/Nữ =25/15 ☘︎Nam/Cả lớp”=25/(25+15), ☘︎Nữ/”Cả lớp” =15/(25+15)

Ví dụ 2: Tỉ Lệ và Hỗn Hợp

Một hỗn hợp gồm 3 phần đường và 5 phần nước. Nếu thêm vào hỗn hợp 2 phần đường và 3 phần nước, tỉ lệ đường và nước trong hỗn hợp mới là bao nhiêu? (tỉ lệ theo khối lượng)

Bảng Đại Lượng Và Quan Hệ
Đại lượng cho sẵn	Đại lượng cần suy ra	Quan hệ
Đường(1), nước(2)	Đường+nước	Đường÷Nước; Đường÷(đường+nước); Nước÷(đường+nước)
---
Bảng Quan Hệ Giữa Các Đại Lượng Trước và Sau khi Thêm
Quan hệ	Trước	Sau
Đường/nước	3/5	(3+2)÷(5+3)
Đường/(đường+nước) Nồng độ dung dịch	3/8	(3+2)÷(3+2+5+3)
Nước/(đường+nước)	5/8	(5+3)÷(3+2+5+3)
---
 
💡
Ở ví dụ 2, các bạn thấy là sau khi xác định các đại lượng cho sẵn (1),(2) chúng ta cần xác định đại lượng “tặng thêm”(3); quan hệ của chúng; và xem xét các đại lượng và quan hệ thay đổi thế nào theo thời gian (quan hệ trước-sau)
Vì các quan hệ này liên kết với nhau và dễ nhầm lẫn, việc kẻ bảng sẽ giúp các bạn hiểu đề chính xác và trong các trường hợp đơn giản như ví dụ 2, giải xong bài toán.
• Một bảng tổng hợp của hai bảng trên (nên sử dụng trong khi thi để tiếp kiệm thời gian) sẽ có dạng như sau

Loại	Tên	Giá trị trước (dv: phần khối lượng)	Giá Trị sau
Đại lượng	Nước	3	5
Đại lượng	Đường	5	8
Đại lượng	(Nước+Đường)	8	13
Quan Hệ	Nước ÷ Đường	$$\frac{3}{5}$$	$$\frac{5}{8}$$
Quan Hệ	Nước ÷ (Nước+Đường)	$$\frac{3}{8}$$	$$\frac{5}{13}$$
Quan Hệ	Đường ÷ (Nước+Đường)	$$\frac{5}{8}$$	$$\frac{8}{13}$$

Ví dụ 3:Tỉ Lệ và Diện Tích

Diện tích của hai hình chữ nhật là tỷ lệ với 4:7. Nếu hiệu diện tích của hình chữ nhật lớn và hình chữ nhật nhỏ là 20 m², tính diện tích của hình chữ nhật lớn hơn.

1. Gọi x, y là diện tích của HCN lớn và nhỏ và $$H_1, H_2$$ là HCN lớn và nhỏ
 

Loại	Tên	Giá trị trước	Giá Trị sau
Đại lượng	$$S_{H_1}$$	x	-
Đại lượng	$$S_{H_2}$$	y	-
Đại lượng	Hiệu diện tích $$H_1, H_2$$	x-y=20	-
Quan Hệ	$$S_{H_2} ÷ S_{H_1}$$	$$\frac{y}{x}=\frac{4}{7}$$	-

 
Từ bảng trên, ta đã có thể giải ra x, y bằng cách đặt hệ phương trình.
 
2. Nếu chúng ta không thích đặt ẩn x, y, ta có thể diễn giải như sau
 

Loại	Tên	Giá trị trước	Giá Trị sau
Đại lượng	$$S_{H_1}$$	7 phần	-
Đại lượng	$$S_{H_2}$$	4 phần	-
Đại lượng	Hiệu diện tích $$H_1, H_2$$	3 phần = 20 $$m^2$$	-
Quan Hệ	$$S_{H_2} ÷ S_{H_1}$$	$$\frac{4}{7}$$	-

 
Ta thấy 3 phần = 20$$m^2$$tức là 1 phần $$= \frac{20}{3} m^2$$. Suy ra $$S_{H_1}= \text{7 phần} = \frac{140}{3} m^2$$
 
💡
Đây chính là lợi thế của việc Kẻ bảng. Không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ vấn đề hơn mà còn giúp chọn ra công cụ phù hợp cho từng bài toán
 

Bước 2: Đặt ẩn số và tìm trên bảng các phương trình phù hợp để giải

Ví dụ 4: Tỉ lệ và Vận Tốc

Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km h/ thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km h/ đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu.

• Gọi x,y là vận tốc và thời gian ban đầu ô tô dự định đi.
• Bảng Quan hệ đại lượng thể hiện như sau
 

Loại	Tên	Giá trị trước	Giá Trị sau 1	Giá trị sau 2
Đại lượng	Vận tốc ô tô	x	35	50
Đại lượng	Thời gian đi	y	y+2	y-1
Đại lượng	Quãng đường	xy	35(y+2)	50(y-1)
Quan Hệ (không đổi)	Quãng đường ÷ thời gian= vận tốc	ㅤ	ㅤ	ㅤ

 
• Từ bảng ta có thể chọn ra hai phương trình để tạo thành hệ giải ra x, y
💡
Các bạn có thể thấy, với cùng quãng đường, vận tốc sẽ tỉ lệ nghịch với thời gian. Từ đó sẽ dễ hướng tới suy nghĩ sử dụng tỉ lệ $$\frac{y+2}{y-1}=\frac{50}{35}$$ để tìm ra y.
 

2. Bài toán có thể có cách diễn giải khác như sau
Gọi t là thời gian đi hết AB với vận tốc 50km/h ⇒ t+3 là thời gian ô tô đi hết quãng đường AB với vận tốc 35km

Loại	Tên	Giá trị 1	Giá trị 2
Đại lượng	Quãng đường đi được với vận tốc 35 km//h ($$s_{35}$$)trong thời gian t	35t	35(t+3) = AB
Đại lượng	Quãng đường đi được với vận tốc 50 km/h(s50s_{50}s50​)	50t = AB	AB+(50×3)
Đại lượng	Thời gian đi	t	t+3
Quan Hệ	($$s_{50}-s_{35}$$)	15t	15(t+3) = ⎛(AB+(50×3)⎞- AB =150

• Từ phương trình Tím hoặc Cam, ta đều suy ra t = 7

Ví dụ 4’: Thỏ và Rùa

Thỏ và Rùa tham gia một cuộc đua 2024 m. Thỏ chạy với vận tốc nhanh gấp 6 lần vận tốc của Rùa. Cả hai bắt đầu ở vạch xuất phát. Trong quá trình đua, Rùa chạy liên tục còn Thỏ dừng lại để ngủ trưa. Khi Thỏ tỉnh dậy, Rùa đang chạy cách trước nó một khoảng xa. Khi Rùa về đích, Thỏ đang ở cách vạch đích 224 m. Hỏi trong khi Thỏ ngủ, Rùa đã đi được bao nhiêu mét? (Đề Quận 10-4 SGD-DE DE NGHI)

1. Gọi x là vận tốc của Rùa, $$\frac{2024}{x}$$ là thời gian Rùa chạy về đích. Gọi thời gian ngủ của Thỏ là n, thời gian thỏ chạy là$$\frac{2024}{x}-n$$. Đại lượng cần tính là $$xn$$ . Ta kẻ bảng với 3 giá trị như bên dưới.

Tên	Giá trị 1	Giá trị 2	Giá trị 3
Quãng đường Thỏ đi được ($$s_{T}$$) trong thời gian t	6x	.$$6x(\frac{2024}{x}-n )$$ $$=2024-224$$	$$6×2024$$
Quãng đường Rùa đi được ($$s_{R}$$) trong thời gian t	x	$$x(\frac{2024}{x}-n)$$	2024
Thời gian Chạy	1	$$\frac{2024}{x}-n$$	$$\frac{2024}{x}$$

 
Ta có phương trình Tím và tính ra được ngay xn = 1724
 
💡
Các bài toán về vận tốc và tính công, công suất tương tự nhau. Nếu thay công việc = tổng quãng đường, công suất = vận tốc và thời gian = thời gian, các bạn có thể giải hoàn toàn tương tự

---

 

Ví dụ 5: Tỉ lệ và Tính Công

7: (1,0 điểm) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc. Hỏi mỗi người thợ chỉ làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc? ☘︎(Đề Quận 4-3 SGD-DE DE NGHI)

Tên Đại Lượng/Quan hệ	Giá trị 1	Giá trị 2	Giá trị 3
Thời gian làm (t)	16	3	6
Năng suất Thợ 1	x	x	x
Năng suất Thợ 2	y	y	y
Công việc Thợ 1 Làm trong thời gian t (A)	16x	3x = 25%-6y	6x
Công việc Thợ 2 Làm trong thời gian t (B)	16y	3y	6y=25%-3x
Tổng công việc hai thợ làm (=A+B)	16x+16y=1	3x+3y=3/16= 25%-6y+3y (1)	6(x+y)=6/16= 25%-3x

 
Giải (1) tìm y và PT Nâu tìm x.

Ví dụ 6: Số Lượng-Mua Bán

5 (0,75 điểm). Một lớp học 40 học sinh, trong đó nam nhiều hơn nữ. Trong giờ ra chơi, cô giáo đưa cả lớp 260000 đồng để mỗi bạn nam mua một ly Coca giá 5000 đồng/ly, mỗi bạn nữ mua một bánh phô mai giá 8000 đồng/cái và được căn tin thối lại 3000 đồng. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ? ☘︎☘︎ (Đề Quận 3-2 SGD-DE DE NGHI)

• Gọi x là số nam, k=1000. Ta có bảng sau

Tên Đại Lượng/Quan Hệ	Giá trị trước	Giá trị thay đổi 𝛥*	Giá Trị sau (bằng Giá trj đầu +𝛥)
Số nam	x	0	x
Số nữ	40-x	0	40-x
Số tiền nam giữ	$$5kx$$	-$$5kx$$ (*)	5$$kx-5kx=0$$
Số tiền Nữ giữ	$$260k-5kx$$	$$-8k(40-x)$$	‘$$3k(40-x)= 260k-5kx-8k(40-x)$$.

Giải PT Tím ta tìm được x
 
💡
Các bài toán liên quan đến Mua Bán thật ra chỉ thuần tuý sử dụng 1 công thức Giá × Số lượng = Tổng tiền thanh toán. Cái làm khó các bạn là một số đại lượng như Giá bán, Lượng tiền còn lại sẽ thay đổi nhiều lần qua thời gian. Kẻ Bảng như Ví dụ trong phần này sẽ giúp các bạn tránh nhầm lẫn khi xác định phương trình
 
💡
𝛥: giá trị biến thiên giữa 2 lần xét (nếu lần xét sau giảm so với lần xét trước thì 𝛥 mang giá trị âm). Như trong ví dụ trên, tiền trong túi các bạn học sinh trước và sau khi mua hàng sẽ biến thiên (giảm) một lượng 𝛥 bằng giá tiền mua hàng.

---

 

Ví dụ 7 : Giảm giá theo từng bậc - Phần trăm

5 (0,75 điểm). Sau buổi tổng kết, lớp 9A đi ăn kem ở một quán gần trường. Do quán mới khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từ ly thứ 10 giá mỗi ly kem giảm 10 000 đồng so với giá ban đầu. Lớp 94 mua 40 ly kem, khi tính tiền chủ cửa hàng thấy lớp mua nhiều nên giảm thêm 20% số tiền trên hóa đơn, vì vậy số tiền lớp 94 chỉ phải trả là 712 000 đồng. Hỏi giá của mỗi ly kem ban đầu là bao nhiêu?(Đề Quận 6-3 SGD-DE DE NGHI)

1. Đặt x là giá kem ban đầu, k=1000. Để ý 20% giảm trên TỔNG HOÁ ĐƠN.
 

Ví dụ 8 : Phần trăm và Khuyến mãi: So Sánh Khuyến mãi Nhiều Mức Và Mua 𝞈 Tặng 1

7. (1,0 điểm) Giá bán một cái bánh ở cửa hàng 4 và B đều là 15 000 đồng, nhưng mỗi cửa hàng có hình thức khuyến mãi khác nhau: Cửa hàng A: nếu khách hàng mua bốn cái bánh trở lên thì ba bánh đầu tiên mỗi cái bánh vẫn là 15 000 đồng, nhưng từ cái bánh thứ tư trở đi khách hàng chỉ phải trả 75% giá đang bán. Cửa hàng B: nếu khách hàng mua 3 cái bánh thì được tặng một cái bánh miễn phí. Hỏi ✦Một nhóm bạn học sinh mua 13 cái bánh thì chọn cửa hàng nào có lợi hơn?(Đề Huyện Bình Chánh -2 SGD-DE DE NGHI)

Khuyến mãi và Tổng tiền phải trả cho 13 bánh ở cửa hàng B như sau

Tên	Giá trị 1	Giá trị 2	Giá trị 3	Giá trị 4	Giá trị cần
Số bánh mua	3	6	9	12	10
Giá bánh	15K	15K	15K	15K	15K
Số bánh tặng	1	2	3	4	3
Tổng bánh mua và tặng	4	6	12	16	13
Tổng tiền	3×15K	6×15K	9×15K	12×15K	10×15K

 
Tổng tiền Phải Trả cho cửa hàng A như sau

Tên	Giá trị
Số bánh gía mức 1 (không giảm)	3
Gía mức 1 (không giảm)	15K
Số bánh gía mức 2 ( giảm 75%)	13-3 = 10
Gía mức 2	75%×15K
Tổng tiền	3×15K + 10×75%×15K

 
So sánh Vàng và Đỏ để trả lời

Ví dụ 9 : Phần trăm và Sản lượng theo tháng

3:( (1 điểm). Tháng trước, hai tổ công nhân sản xuất được tổng cộng 750 chi tiết máy. Do kĩ thuật được cải tiến, tháng này số lượng chi tiết máy tổ 1 và tổ 2 sản xuất lần lượt tăng 7% và 8% so với tháng trước, đạt tổng cộng 806 chi tiết máy. Hỏi tháng trước mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? (Đề Huyện Nhà Bè -2 SGD-DE DE NGHI)

Tên	Giá trị trước (A)	Giá trị thay đổi 𝛥	Giá Trị sau (= A+ 𝛥)
Sản phẩm tổ 1	x	7% × x	107%x
Sản phẩm tổ 2	750-x	8% (750-x)	108%(750-x)
Tổng sản phẩm	750	7% × x+8% (750-x)	806= 750+7% × x+8% (750-x)

Giải PT Vàng ta tìm được x

Ví dụ 10 : Phần trăm và Lời Lỗ

6. (1 điểm) Cửa hàng ABC nhập về một số áo với giá vốn là 300 000 đồng/cái. Tuần thứ nhất cửa hàng bán được một nửa số lượng áo thì lời được 40% giá vốn. Tuần thứ hai cửa hàng bán 3/5 số áo còn lại với giá vốn. Tuần thứ ba cửa hàng bán hết số áo còn lại thì lỗ 20% giá ☘︎vốn. Sau khi thống kế thì của hàng thu lợi nhuận từ việc bán hết số áo trên là 4 800 000 đồng. Hỏi của hàng đã nhập về bao nhiêu cái áo? ☘︎ (Đề Quận Gò Vấp -2 SGD-DE DE NGHI)

Tên	Tuần 1	Tuần 2	Tuần 3	Tổng 3 tuần
Giá Vốn	300K	300K	300K	ㅤ
Số lượng	$$\frac{x}{2}$$	$$\frac{3}{5} ×\frac{x}{2}=\frac{3x}{10}​$$	$$\frac{2}{5} ×\frac{x}{2}=\frac{x}{5}$$	ㅤ
Tổng chi phí	$$\frac{x}{2}×300K$$	$$300K ×\frac{3}{5} ×\frac{x}{2}$$	$$300K ×\frac{2}{5} ×\frac{x}{2}$$	$$300K ×x$$
Lợi Nhuận (= Doanh thu - Chi Phí)	$$40\% ×300K ×\frac{x}{2}$$​	0	$$-20\%× 300K ×\frac{2}{5}×\frac{x}{2}$$	$$4800K= 40\% ×300K ×\frac{x}{2}$$ $$-20\%× 300K ×\frac{2}{5}×\frac{x}{2}$$

Giải PT Tím ta tìm được x

Bước 3: Trình bày

Gọi [Điền tên ẩn số] là [Điền tên đại lượng] (điều kiện: [Điền điều kiện] )

Ta có [Điền dữ kiện] ⇒ [Điền suy luận] ⇒ [Điền phương trình 1] (1)

Ta có [Điền dữ kiện] ⇒ [Điền suy luận] ⇒ [Điền phương trình 2] (2)

…

từ (1)(2)… ta có (hệ) phương trình

Hướng dẫn giải Bài toán Thực tế Trong Các Đề Thi Đề Nghị 2024

Tạm Kết

• Tìm hiểu các bài toán nâng cao sử dụng công thức Vieta:
• Tính giá trị biểu thức nghiệm không đối xứng.
• 69 Kết quả Biểu Thức Nghiệm trong tất cả các đề thi tuyển sinh lớp 10 2024 do SGD TPHCM Đề nghị
• Các bài toán về ẩn số phụ, Vieta tổng quát cho phương trình bậc n

• Nhắc lại một công cụ nâng cao (ít gặp nhưng có ra thi ): Số học, Suy Luận Logic, Tổ Hợp và Xắc Suất Thống Kê

• Các bài toán có đồ thị/ quan hệ thể hiện bằng công thức

• Giải Các bài toán Toán Thực tế Nâng Cao trong Các Đề 2024

Toán Cô Diễm

Trường dạy thêm toán cấp 3 của Cô Diễm - giáo viên nổi tiếng với 40 năm kinh nghiệm dạy học sinh giỏi toán. Khám phá các khóa học chất lượng giúp học sinh nâng

http://toancodiem.com/