Lý Thuyết Đồ Thị Cơ Bản Và Ứng Dụng

Bài toán mở đầu:

• Các đỉnh và cạnh:
• Các trụ ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) là các đỉnh của đồ thị.
• Các cạnh có trọng số tương ứng với số lượng thử thách trên các đường đi giữa các trụ.

• Yêu cầu bài toán:
• Người chơi cần xuất phát từ một trụ bất kỳ, đi qua tất cả các trụ và trở về trụ ban đầu sao cho tổng số thử thách là nhỏ nhất.
• Đây là dạng bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất đi qua tất cả các đỉnh trong đồ thị, có thể coi là dạng của bài toán chu trình Hamilton với đồ thị có trọng số.

• Lời giải: Ta sẽ sử dụng lý thuyết đồ thị để tìm đường đi ngắn nhất qua tất cả các đỉnh. Dưới đây là cách tiếp cận để giải bài toán:
• Xác định tổng trọng số của các cạnh trong đồ thị.
• Thử các đường đi và tính tổng số thử thách, giữ lại đường đi có tổng trọng số nhỏ nhất.

1. Giới thiệu về Lý thuyết Đồ thị

• Đỉnh (Vertex/Nút): Đại diện cho một đối tượng hoặc điểm, như người trong mạng xã hội hoặc thành phố trong hệ thống giao thông.

• Cạnh (Edge/Link): Đại diện cho mối quan hệ hoặc kết nối giữa các đỉnh.

• ( V ) là tập hợp các đỉnh.

• ( E ) là tập hợp các cạnh nối giữa các đỉnh

2. Phân loại Đồ thị

• Đồ thị liên thông (Connected Graph): Mọi cặp đỉnh đều có đường đi nối chúng lại.

• Đồ thị không liên thông (Disconnected Graph): Có ít nhất một cặp đỉnh không có đường đi nối chúng lại.

3. Một số khái niệm quan trọng

• Trong đồ thị vô hướng, bậc của đỉnh là số cạnh nối với đỉnh đó.

• Trong đồ thị có hướng, ta có bậc vào (in-degree) và bậc ra (out-degree) tương ứng với số cạnh đi vào và đi ra từ đỉnh.

• Đường đi Euler: Đường đi qua mỗi cạnh đúng một lần.

• Chu trình Euler: Chu trình đi qua mỗi cạnh đúng một lần và quay lại điểm xuất phát. Để tồn tại chu trình Euler, đồ thị vô hướng phải liên thông và tất cả các đỉnh có bậc chẵn.

• Đường đi Hamilton: Đường đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.

• Chu trình Hamilton: Chu trình đi qua mỗi đỉnh đúng một lần và quay lại điểm xuất phát.

4. Các thuật toán cơ bản trong Lý thuyết Đồ thị

• Thuật toán Dijkstra: Tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh khác trong đồ thị có trọng số dương.

• Thuật toán Bellman-Ford: Tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh khác trong đồ thị có trọng số, có thể bao gồm trọng số âm.

• Thuật toán Floyd-Warshall: Tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh trong đồ thị.

• Thuật toán Kruskal: Chọn cạnh có trọng số nhỏ nhất, liên tục thêm vào cây nếu không tạo ra chu trình.

• Thuật toán Prim: Bắt đầu từ một đỉnh và mở rộng cây bằng cách thêm các cạnh nhỏ nhất nối với các đỉnh ngoài cây.

• Tìm kiếm theo chiều rộng (Breadth-First Search - BFS): Tìm kiếm trong đồ thị bằng cách duyệt các đỉnh theo từng tầng, thích hợp cho tìm kiếm đường đi ngắn nhất trong đồ thị vô hướng không trọng số.

• Tìm kiếm theo chiều sâu (Depth-First Search - DFS): Tìm kiếm bằng cách đi sâu vào từng nhánh, có thể dùng để tìm các thành phần liên thông trong đồ thị.

5. Ứng dụng của Lý thuyết Đồ thị

• Mạng xã hội: Mô hình hóa các mối quan hệ giữa người dùng, phân tích cộng đồng và truyền bá thông tin.

• Giao thông và Logistics: Tìm đường đi ngắn nhất, tối ưu hóa tuyến đường, lập kế hoạch vận chuyển.

• Mạng máy tính: Thiết kế và tối ưu hóa mạng, tìm đường đi nhanh nhất để truyền tải dữ liệu.

• Khoa học và kỹ thuật: Mô hình hóa cấu trúc phân tử, tối ưu hóa dây chuyền sản xuất, lập kế hoạch dự án.

 

Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com

 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇