Hệ Thống Kiến Thức: Căn Bậc hai và Căn Bậc 3 | Toán Lớp 9 | Chương 3
Hệ Thống Kiến Thức: Căn Bậc hai và Căn Bậc 3 | Toán Lớp 9 | Chương 3
Các Mục Chính
1. Khái niệm căn thức bậc hai và căn thức bậc ba
Căn thức bậc hai
Căn thức bậc ba
2. Các phép biến đổi cơ bản của căn thức bậc hai và căn thức bậc ba
Tính chất cơ bản :Căn của một tích
Hệ quả cơ bản 1 :Căn của một thương
Hệ quả cơ bản 2 : Đưa thừa số ra-vào dấu căn
Khử căn ở mẫu số đối với căn bậc hai
3. So sánh căn thức
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Căn bậc hai của một bình phương
Ví dụ 2: Căn bậc hai của một thương
Ví dụ 3: Căn bậc ba của một thương
Ví dụ 4: Căn bậc hai của một tích
Ví dụ 5: Căn bậc ba của một tích
5. Lưu ý khi sử dụng căn thức
6. Bài tập ví dụ

Hệ Thống Kiến Thức: Căn Bậc hai và Căn Bậc 3 | Toán Lớp 9 | Chương 3

Tài liệu hướng dẫn về căn bậc hai và căn bậc ba trong Toán lớp 9, bao gồm khái niệm, phép biến đổi cơ bản, và ví dụ minh họa. Căn bậc hai được định nghĩa là số x sao cho x^2 = a, trong khi căn bậc ba là số x sao cho x^3 = a. Các phép biến đổi cơ bản bao gồm căn của một tích, căn của một thương, và cách đưa thừa số ra vào dấu căn. Tài liệu cũng cung cấp bài tập ví dụ để thực hành.

Lớp 9 Đại Số Cơ bản
Shin Hoàng
Nov 6, 2024
 
Căn Bậc Hai là khái niệm được đưa ra khi các nhà Toán Học gặp phải bài toán sau:
Một khu vườn hình vuông có kích thước bao nhiêu thì diện tích của nó là a m2 m^2
 
Khái niệm căn bậc hai sẽ là bước đệm để các em học phương trình bậc hai ở Học Kì Tới của chương trình Lớp 9.
Vì hai khái niệm này có điểm tương đồng và điểm tương phản nổi bật, nên chúng ta sẽ cùng tìm hiểu song song hai khái niệm để các em có một cái nhìn tổng quát.
 
Nội dung chính
  1. Khái niệm căn thức bậc hai và căn thức bậc ba
  1. Các phép biến đổi cơ bản của căn thức bậc hai và căn thức bậc ba
  1. So sánh căn thức
  1. Ví dụ minh họa
  1. Lưu ý
  1. Bài tập ví dụ

1. Khái niệm căn thức bậc hai và căn thức bậc ba

Căn thức bậc hai

👨🏻‍🎓
Căn thức bậc hai của một số thực dương a a là số x sao cho x2=a(1) x^2 = a \quad ( 1 )
Ký hiệu của căn thức bậc hai là a \sqrt{a}
Khi không nói gì thêm, a \sqrt{a} được quy ước là nghiệm dương của phương trình ( 1 )
Chỉ số bậc hai thường được ngầm hiểu và không cần viết ra.
Mỗi số thực a
  • có hai (02) căn bậc hai là a\sqrt{a} và −a-\sqrt{a}, nếu a>0a > 0
  • có một (01) căn bậc hai là 0 nếu a=0a = 0
  • không có căn bậc hai là số thực nếu a<0a < 0
 

Căn thức bậc ba

👨🏻‍🎓
Căn thức bậc ba của một số aa là số xx sao cho x3=a x^3 = a .
Ký hiệu của căn thức bậc ba là a3 \sqrt[3]{a} . Chỉ số bậc ba luôn cần được viết rõ ràng.
Mỗi số thực a có một căn bậc 3 duy nhất

2. Các phép biến đổi cơ bản của căn thức bậc hai và căn thức bậc ba

 
Có 4 phép biến đổi cơ bản dựa trên 4 tính chất của căn thức đó là
  • Căn của một tích
  • Căn của một thương
  • Đưa thừa số ra-vào dấu căn
  • Khử căn ở mẫu số

Tính chất cơ bản :Căn của một tích

2.1. Căn bậc hai của một tích

Cho a và b là các số thực không âm. Căn bậc hai của tích abab được xác định như sau: ab=a⋅b \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

2.2. Căn bậc ba của một tích

Cho a và b là các số thực. Căn bậc ba của tích abab được xác định như sau: ab3=a3⋅b3\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}
 

Hệ quả cơ bản 1 :Căn của một thương

2.3. Căn bậc hai của một thương

Cho a và b là các số thực không âm, b khác không. Căn bậc hai của thương ab \frac{a}{b} được xác định như sau: ab=ab \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
 

2.4. Căn bậc ba của một thương

Giả sử a và b là các số thực, b khác không . Căn bậc ba của thương ab \frac{a}{b} được xác định như sau: ab3=a3b3 \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}
💡
  1. Khi thực hiện phép chia cho một số b nói chung, phải kẹp điều kiện có nghĩa là b khác 0
  1. Tính chất Căn của một thương ab \frac{a}{b} là hệ quả của Tính chất Căn của một tích, với thừa số thứ hai là 1b\frac{1}{b}

Hệ quả cơ bản 2 : Đưa thừa số ra-vào dấu căn

2.5. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

Cho a và b là các số thực, b không âm.
ab=a2b=a2.b a\sqrt{b} = \sqrt{a^2}{\sqrt{b}} =\sqrt{a^2.b}

2.6. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai

Cho a và b là các số thực, b không âm.
a2.b=a2b=∣a∣b \sqrt{a^2.b} = \sqrt{a^2}{\sqrt{b}} = |a|\sqrt{b}
 
 

2.7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc ba

Cho a và b là các số thực
ab3=a33b3=a3.b3 a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3}{\sqrt[3]{b}} =\sqrt[3]{a^3.b}

2.8. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc ba

Cho a và b là các số thực
a3.b3=a33b3=ab3\sqrt[3]{a^3.b} = \sqrt[3]{a^3}{\sqrt[3]{b}} =a\sqrt[3]{b}
 
💡
  1. Khi khai căn của a2a^2, ta phải lấy giá trị dương tức là trị tuyệt đối của số a.
  1. Căn bậc ba không cần xét điều kiện khi thực hiện phép biến đổi này
  1. Tính chất này cũng là hệ quả trực tiếp của Tính chất Căn của một tích
 

Khử căn ở mẫu số đối với căn bậc hai

2.9. Dạng A(x)a−b\frac{A(x)}{\sqrt{a}-b}
Cho a và b là các số thực, a không âm, a−b≠0\sqrt{a}-b \neq 0.
A(x)a−b=A(x).(a+b)(a−b)(a+b)=A(x).(a+b)(a−b2)\frac{A(x)}{\sqrt{a}-b}=\frac{A(x).(\sqrt{a}+b)}{(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)}=\frac{A(x).(\sqrt{a}+b)}{(a-b^2)}
Hằng đẳng thức sử dụng : A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)
2.10. Dạng B(x)a+b\frac{B(x)}{\sqrt{a}+b}
Tương tự A(x)a−b\frac{A(x)}{\sqrt{a}-b}, ta có
Cho a và b là các số thực, a không âm, a+b≠0\sqrt{a}+b \neq 0.
A(x)a+b=A(x).(a−b)(a−b)(a+b)=A(x).(a−b)(a−b2)\frac{A(x)}{\sqrt{a}+b}=\frac{A(x).(\sqrt{a}-b)}{(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)}=\frac{A(x).(\sqrt{a}-b)}{(a-b^2)}
 
💡
Biểu thức liên hợp
Biểu thức liên hợp của a+b\sqrt{a}+b là a−b\sqrt{a}-b và ngược lại.

3. So sánh căn thức

 
👨🏻‍🎓
Cho a, b là hai số thực.
a≤b⇔0≤a≤b\sqrt{a}\leq \sqrt{b} \Leftrightarrow 0 \leq a \leq b
a3≤b3⇔a≤b\sqrt[3]{a}\leq \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a \leq b
 
Xem thêm:
🌗
Sơ đồ Tóm tắt kiến thức Đại số HK1 Lớp 9

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Căn bậc hai của một bình phương a2a^2

Cho a = 5 , ta có:
a=52=25=5a =\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5

Ví dụ 2: Căn bậc hai của một thương

Cho a= 9 và b=4b = 4, ta có:
94=94=32\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}

Ví dụ 3: Căn bậc ba của một thương

Cho a=27 a = 27 và b=8b = 8, ta có:
2783=27383=32\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}

Ví dụ 4: Căn bậc hai của một tích

Cho a = 16 và b = 25, ta có:
16⋅25=400=20\sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20

Ví dụ 5: Căn bậc ba của một tích

Cho a = 8 và b = 27,
ta có: 8⋅273=2163=6\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{216} = 6

5. Lưu ý khi sử dụng căn thức

💡
  • Đối với căn bậc hai, điều kiện xác định của nó là các số thực dương hoặc bằng 0 mới có căn bậc hai
  • Khi tính căn bậc hai của bình phương, cần chú ý đến giá trị tuyệt đối để đảm bảo kết quả là số không âm.
  • Đối với căn bậc ba, không có giới hạn về dấu của số bên trong căn.

6. Bài tập ví dụ

  1. Tính 49 \sqrt{49} .
  1. Tính 12523 \sqrt[3]{125^2} .
  1. Tính 259 \sqrt{\frac{25}{9}}
  1. Tính 12⋅27 \sqrt{12 \cdot 27} .
 
  1. Tính 273 \sqrt[3]{27}.
  1. Tính 362 \sqrt{36^2} .
  1. Tính 64273 \sqrt[3]{\frac{64}{27}} .
  1. Tính 4⋅1253 \sqrt[3]{4 \cdot 125} .
 
 
Xem Thêm
Phương Pháp giải phương trình căn thức, vô tỷ - Toán Cô Diễm
Tải Tài Liệu Chuyên Đề Đồng Bậc Hoá giải Phương Trình, Bất Đẳng Thức Nâng Cao và Căn bản dành cho Học Sinh Lớp 8, 9 với Lý Thuyết và 4 dạng bài tập chính.
Phương Pháp giải phương trình căn thức, vô tỷ - Toán Cô Diễm
https://toancodiem.com/sachchuyende2?utm_campaign=Tài+liệu+tham+khảo&utm_medium=FB&utm_source=FB+post+21/8+s1
 
 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
🌍 toancodiem.com
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)
 
Shin Hoàng

Bài Liên Quan

Phương pháp giải Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn Dễ Hiểu và Chi Tiết | Toán Cô Diễm

Phương pháp giải Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn Dễ Hiểu và Chi Tiết | Toán Cô Diễm
Shin Hoàng
Dec 19, 2024

Phương trình bậc hai một ẩn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế và lý thuyết. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết cách giải phương trình bậc hai, từ xác định hệ số, tính biệt thức đến phân loại nghiệm. Đọc ngay để nắm vững phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình bậc hai.

Lớp 9 PT bậc 2 Đại Số
Hệ thống kiến thức: 4 dạng phương trình căn thức đơn giản và cách giải | Chương 3 | Toán Lớp 9

Hệ thống kiến thức: 4 dạng phương trình căn thức đơn giản và cách giải | Chương 3 | Toán Lớp 9
Shin Hoàng
Dec 1, 2024

Các em học sinh thân mến, để giải tốt các dạng phương trình chứa căn bậc hai, các em cần nắm vững các dạng căn bản và phương pháp giải. Hôm nay, "Toán Cô Diễm" sẽ hướng dẫn chi tiết 4 dạng phương trình thường gặp nhất: , và . Mỗi dạng đều có phương pháp giải cụ thể từ bước xác định điều kiện đến các ví dụ minh họa rõ ràng. Hãy đọc kỹ bài viết để đảm bảo các em có thể tự tin đối mặt với bất kỳ dạng phương trình nào thuộc chủ đề này.

Đại Số Lớp 9 Dạng BĐT Cơ bản
Kỹ thuật đưa về bình phương đúng trong giải phương trình, căn thức và bất đẳng thức | Toán Cô Diễm

Kỹ thuật đưa về bình phương đúng trong giải phương trình, căn thức và bất đẳng thức | Toán Cô Diễm
Shin Hoàng
Nov 30, 2024

Phương pháp đưa về bình phương đúng là một kỹ thuật chuyển đổi một biểu thức bậc hai thành bình phương của một biểu thức. Cách này giúp bạn dễ dàng tìm được nghiệm mà không cần dùng công thức nghiệm tổng quát, ngoài ra còn đặc biệt hữu dụng ch Bài viết sẽ hướng dẫn chi tiết các bước thực hiện cùng ví dụ minh họa cụ thể.

Lớp 9 Cơ bản Đại Số Lớp 8