Hướng Dẫn Giải Phương Trình Chứa Căn với Tham Số Nguyên | Toán Cô Diễm
Toán Cô Diễm hướng dẫn chi tiết cách giải phương trình chứa căn với tham số mmm nguyên. Bài viết bao gồm các bước rút gọn, tính delta, và kiểm tra điều kiện nghiệm nguyên, giúp học sinh nắm vững kỹ thuật giải toán nâng cao.
Để giải bài toán tìm giá trị ( x ) để biểu thức chứa căn dạng phân thức có giá trị nguyên, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá phương pháp tổng quát và các bước chi tiết để xử lý dạng bài này.
Hãy xem xét ví dụ sau và thực hiện từng bước cụ thể.
Để ( Q ) có nghĩa, cần có ( x \geq 0 ) và mẫu số của từng phân thức khác 0:
(5x+7=0 ) — luôn đúng với ( x≥0 ).
3x−2=0⇒x=32⇒x=94 .
15x+11x−6=0
sau khi giải cụ thể, ta cóđiều kiện xác định là x≥0 và x=94
Bước 2: Rút gọn biểu thức ( Q )
Để rút gọn, chúng ta xem xét từng phân thức trong ( Q ):
Phân thức đầu tiên:
Phân thức thứ hai:
Phân thức thứ ba:
15x+11x−642x+34
Do các phân thức phức tạp, ta sử dụng phương pháp đồng mẫu hoặc tách riêng từng phần tử để rút gọn ( Q ).
Bước 3: Giải x thuộc Z sao cho Q có giá trị nguyên
Sau khi rút gọn, chúng ta tìm các giá trị ( x ) sao cho ( Q ) có giá trị nguyên.
Đầu tiên đưa Q về phương trình theo k,
ta thực hiện như sau:
Biểu thức ( Q ) đã được rút gọn là:
Đặt
(với m là số nguyên), ta có phương trình:
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
Nhân chéo để loại mẫu, ta có:
Nhân cả hai vế với 2 để loại mẫu ( \frac{m}{2} ):
Khai triển và đưa tất cả các hạng tử về một vế, ta được:
Sắp xếp lại phương trình theo ( k ):
Do đó, ta có phương trình bậc hai theo ( k ) với tham số ( m ):
Phân tích hệ số
Phương trình này có dạng chuẩn ( ax2+bx+c=0 ) với:
(a=0 do m nguyên)
Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm k dựa trên giá trị của m :
Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên k
Phương trình bậc hai này sẽ có nghiệm nguyên khi: Delta là một số chính phương:
Ta có phương trình bậc hai:
với hệ số:
Δ (biểu thức delta), được tính bởi:
Thay các giá trị của ( a ), ( b ), và ( c ) vào, ta được:
Rút gọn nhân tử chung ( 4 ):
Giờ ta thực hiện phép nhân trong biểu thức ( (20 - 25m)(49m - 42) ):
Kết hợp các hạng tử lại, ta được:
Thay vào biểu thức delta:
Vậy, biểu thức của Δ được rút gọn thành:
Điều kiện để Delta là một số chính phương
Sau đây là hướng dẫn cách suy luận, bạn nào biết làm rồi có thể đọc luôn phần kết quả
Để nhóm biểu thức 1225m2−2030m+841 về dạng bình phương, ta sẽ kiểm tra xem có thể đưa về dạng (am+b)2 hay không.
Biểu thức là:
Bước 1: Xác định hệ số
Ta thấy rằng
là bình phương của
Tương tự, 841 là bình phương của 29
Vậy, có khả năng biểu thức có dạng:
Bước 2: Khai triển và so sánh kiểm tra lại
Khai triển
Vậy:
Do đó, ta có:
Khi đó, ta có thể viết lại biểu thức Delta là:
Kết quả cuối cùng:
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm (theo công thức nghiệm):
Nghiệm k sẽ là:
và
Kết luận
Vậy nghiệm của k theo m là:
Hoặc
Nói cách khác, với mọi k có dạng 70m-29 (m thuộc Z) hoặc k = 29 thì biểu thức Q có giá trị nguyên (bằng m)
Một số Lưu ý
✬ Phương trình bặc hai và công thức nghiệm theo Delta nằm ở chương trình Học kì 2 Lớp 9, tuy nhiên các em nên nắm công thức để tính ra nghiệm (ví dụ a,b) của phương trình.
Do phương trình bậc hai ban đầu có 2 nghiệm a,b nên nó có thể được viết lại dưới dạng (x−a)(x−b)=0
Từ đó, các em nhân phân phói để ra các bước biến đổi trung gian từ phương trình ban đàu..
✬ Ngoài sử dụng công thức nghiệm và phương trình bậc hai, còn có các phương pháp về bất đẳng thức và số học có thể sử dụng tuỳ vào từng trường hợp riêng.
Các em lưu ý và vận dụng nếu sử dụng công thức nghiệm không ra được kết quả hoặc quá phức tạp
Phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi.
Trong bài này, các em sẽ được giới thiệu một số phương trình căn thức đặc biệt có các "dấu hiệu" gợi ý cho chúng ta cách đặt ẩn phụ để giải
Hướng dẫn giải bài tập biến đổi căn thức dạng nâng cao : Căn hai lớp cho học sinh lớp 9, bao gồm các bước rút gọn, khai phương và sử dụng biểu thức liên hợp. Tài liệu cung cấp ví dụ và bài tập tự luyện, giúp học sinh phát triển kỹ năng từ cơ bản đến nâng cao trong toán học.
Biểu thức căn chứa ân. Sau khi đọc xong bài này các em sẽ biết cách xác định điều kiện xác định của biểu thức, giải bất phương trình và phương trình nghiệm nguyên
Made with Bullet