Hệ Thống Kiến Thức: Đường Tròn | Chương 5 | Hình Học | Toán Lớp 9

Chủ đề 1.1: Đường Tròn

1.1 Định nghĩa và các yếu tố của đường tròn

Định nghĩa:

• Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định với một khoảng cách không đổi.

• Điểm cố định đó được gọi là tâm của đường tròn, và khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn được gọi là bán kính.

Các yếu tố chính của đường tròn:

1. Tâm đường tròn (O): Điểm cố định mà tất cả các điểm trên đường tròn đều cách nó một khoảng cách bằng bán kính.

2. Bán kính (R): Đoạn thẳng nối từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn.

3. Đường kính (D): Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên đường tròn và đi qua tâm. Đường kính có độ dài gấp đôi bán kính, nghĩa là .

Một số yếu tố khác:

• Dây cung: Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm trên đường tròn.

• Cung: Phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm.

• Tiếp tuyến: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Công thức cơ bản của đường tròn:

1.2 Vị trí tương đối giữa hai đường tròn

1.2.1 Hai đường tròn cắt nhau

1.2.2 Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

1.2.3 Hai đường tròn tiếp xúc trong

1.2.4 Hai đường tròn không giao nhau

1.3 Một số bài toán thực hành

Chủ đề 1.2 Quan hệ giữa Đường Kính và Dây Cung

1. Quan hệ giữa đường kính và dây cung

1. Định nghĩa đường kính và dây cung
• Đường kính của đường tròn là đoạn thẳng đi qua tâm và có hai đầu mút nằm trên đường tròn. Độ dài đường kính bằng hai lần bán kính.
• Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Dây cung dài nhất của đường tròn chính là đường kính.

2. Quan hệ giữa đường kính và dây cung
• Tính chất 1: Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung.
• Nếu $$AB$$ là dây cung và $$CD$$ là đường kính vuông góc với $$AB$$ tại $$M$$, thì $$M$$ là trung điểm của $$AB$$.
• Tính chất 2: Đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.
• Nếu $$AB$$ là dây cung và $$M$$ là trung điểm của $$AB$$, đường kính $$CD$$ đi qua $$M$$ thì $$CD \perp AB$$.
• Tính chất 3: Trong một đường tròn, dây cung nào càng gần tâm thì càng dài.
• Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn, và mọi dây cung khác đều có độ dài nhỏ hơn đường kính.

3. Ứng dụng trong bài toán
• Bài toán: Cho đường tròn $$(O; R)$$ với dây cung $$AB$$ không đi qua tâm. Đường kính $$CD$$ vuông góc với $$AB$$ tại $$M$$. Hãy chứng minh $$OM \perp AB$$ và $$OM = R^2 - \frac{AB^2}{4}$$.
• Giải: Sử dụng tính chất của tam giác vuông và định lý Pythagoras để chứng minh quan hệ giữa $$OM$$ và độ dài $$AB$$.

Chủ đề 1.3 Tính Chất Đối Xứng của Đường Tròn

1. Đối xứng Trục

• Mọi đường kính của đường tròn là trục đối xứng của đường tròn. Điều này có nghĩa là nếu gập đường tròn lại theo bất kỳ đường kính nào, hai nửa của đường tròn sẽ chồng khít lên nhau.

• Ứng dụng trong bài toán:
• Bài toán: Cho đường tròn $$(O; R)$$ với điểm $$A$$ trên đường tròn và $$B$$ là điểm đối xứng của $$A$$ qua đường kính $$d$$. Chứng minh rằng $$OA = OB$$ và $$AB$$ là đường kính.
• Giải: Sử dụng tính chất đối xứng để chứng minh rằng hai điểm đối xứng qua đường kính đều nằm trên đường tròn và cách đều tâm.

2. Đối xứng tâm

• Định nghĩa: Đường tròn có tính đối xứng tâm qua chính tâm của nó.

• Tính chất đối xứng tâm:
• Mọi điểm trên đường tròn đều có một điểm đối xứng qua tâm của đường tròn và điểm này cũng nằm trên đường tròn.
• Nếu $$A$$ là điểm trên đường tròn $$(O; R)$$, thì điểm đối xứng của $$A$$ qua tâm $$O$$ sẽ là điểm $$B$$ nằm trên đường tròn

Tổng kết

1. Quan hệ giữa đường kính và dây cung giúp chúng ta xác định các mối quan hệ vuông góc và trung điểm của các đoạn thẳng trên đường tròn.

2. Tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm của đường tròn là cơ sở để giải quyết các bài toán hình học về đối xứng, giúp xác định các điểm và tính chất liên quan trên đường tròn một cách dễ dàng và chính xác.

Chủ đề 2: Vị Trí Tương Đối của Đường Thẳng và Đường Tròn

2.1 Các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

2.1.1 Đường thẳng không cắt đường tròn (Không giao nhau)

• Đặc điểm: Đường thẳng không có điểm chung với đường tròn.

• Điều kiện: Khoảng cách từ tâm $$O$$ của đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính $$R$$ của đường tròn.

• Công thức: Nếu $$d$$ là khoảng cách từ tâm $$O$$ đến đường thẳng, thì

2.1.2 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (Tiếp tuyến)

• Đặc điểm: Đường thẳng chỉ cắt đường tròn tại một điểm duy nhất, gọi là điểm tiếp xúc.

• Điều kiện: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn.

2.1.3 Đường thẳng cắt đường tròn (Cắt nhau)

• Đặc điểm: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

• Điều kiện: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính.

2.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

1. Dấu hiệu dựa vào khoảng cách: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn. Khi đó, đường thẳng sẽ tiếp xúc với đường tròn tại đúng một điểm.

2. Dấu hiệu vuông góc: Nếu đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

2.3 Tính chất của tiếp tuyến đường tròn

Tính chất vuông góc

• Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn luôn vuông góc với bán kính đi qua điểm tiếp xúc.

• Ký hiệu: Nếu $$OM$$ là bán kính và $$MN$$ là tiếp tuyến tại điểm $$M$$, thì $$OM \perp MN$$.

Tính chất phân giác

• Tính chất: Đường thẳng nối tâm đường tròn với một điểm ngoài đường tròn là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đó đến đường tròn.

• Ví dụ: Cho điểm $$P$$ nằm ngoài đường tròn $$(O)$$, từ $$P$$ kẻ hai tiếp tuyến $$PA$$ và $$PB$$ đến đường tròn tại các điểm tiếp xúc $$A$$ và $$B$$. Khi đó, đường thẳng $$OP$$ là phân giác của $$\angle APB$$.

Tính chất độ dài của hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn

• Tính chất: Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn. Hai tiếp tuyến này có độ dài bằng nhau.

• Ký hiệu: Nếu $$PA$$ và $$PB$$ là hai tiếp tuyến từ điểm $$P$$ đến đường tròn $$(O)$$, với $$A$$ và $$B$$ là hai điểm tiếp xúc, thì $$PA = PB$$.

2.4 Một số bài toán thực hành

1. Bài toán 1: Cho đường tròn $$(O; R = 5 \text{ cm})$$ và đường thẳng $$d$$ có khoảng cách từ $$O$$ đến $$d$$ là $$7 \text{ cm}$$. Hỏi đường thẳng $$d$$ và đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?
• Giải: Vì $$d > R$$ nên đường thẳng $$d$$ không cắt đường tròn.

2. Bài toán 2: Cho đường tròn $$(O; R = 4 \text{ cm})$$ và đường thẳng $$d$$ tiếp xúc với đường tròn tại điểm $$A$$. Hỏi bán kính $$OA$$ có tính chất gì đối với $$d$$?
• Giải: Theo tính chất của tiếp tuyến, $$OA \perp d$$ tại điểm tiếp xúc $$A$$

3. Bài toán 3: Từ điểm $$P$$ ở ngoài đường tròn $$(O; R)$$, kẻ hai tiếp tuyến $$PA$$ và $$PB$$ đến đường tròn, với $$A$$ và $$B$$ là hai điểm tiếp xúc. Biết $$PA = 6 \text{ cm}$$, tính độ dài $$PB$$.
• Giải: Theo tính chất của tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn, $$PA = PB$$. Vậy $$PB = 6 \text{ cm}$$.

Chủ đề 3: Góc Nội Tiếp - Góc Ở Tâm

3.1 Góc ở tâm

Định nghĩa

Tính chất của góc ở tâm

• Ký hiệu: (theo đơn vị độ).

3.2 Góc nội tiếp

Định nghĩa

Tính chất của góc nội tiếp

3.3 Mối quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung

3.4 Một số bài toán thực hành

1. Bài toán : Cho đường tròn $$(O)$$, điểm $$A$$, $$B$$, $$C$$ nằm trên đường tròn sao cho góc $$\angle AOB$$ là góc ở tâm và $$\angle ACB$$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $$AB$$. Biết $$\angle AOB = 80^\circ$$. Tính $$\angle ACB$$.
• Giải: Theo tính chất, ta có $$\angle AOB = 2 \angle ACB$$. Vậy:
$$\angle ACB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$

Chủ đề 4: Hình Quạt Tròn - Hình Vành Khuyên

4.1 Hình quạt tròn

Định nghĩa

Công thức tính diện tích và chu vi của hình quạt tròn

1. Diện tích hình quạt tròn

1. Độ dài cung tròn của hình quạt tròn

4.2 Hình vành khuyên

Định nghĩa

Công thức tính diện tích của hình vành khuyên

4.3 Một số bài toán thực hành

1. Bài toán 1: Cho đường tròn $$(O)$$ bán kính $$R = 10 \text{ cm}$$, góc ở tâm $$\theta = 60^\circ$$ tạo thành một hình quạt tròn. Tính diện tích và chu vi của hình quạt tròn.
• Giải:
• Diện tích hình quạt tròn:
$$S = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times10^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 100 = \frac{100\pi}{6} \approx 52.36 \text{ cm}^2$$
• Chu vi hình quạt tròn:
$$L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 = \frac{1}{6} \times 20\pi \approx 10.47 \text{ cm} ;$$
$$P = L + 2R = 10.47 + 20 = 30.47 \text{ cm}$$

2. Bài toán 2: Cho một hình vành khuyên có bán kính đường tròn lớn $$R = 8 \text{ cm}$$ và bán kính đường tròn nhỏ $$r = 5 \text{ cm}$$. Tính diện tích của hình vành khuyên.
• Giải: $$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (8^2 - 5^2) = \pi (64 - 25) = 39\pi \approx 122.52 \text{ cm}^2$$

6 Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Cao - Quét Mã Tải Sách

 

Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com

 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇