Phương Pháp: Giải Bất Phương Trình có Căn Thức| Chương 2&3 | Toán Lớp 9
Sau khi đọc xong bài này các em học sinh sẽ biết chi tiết cách giải một bất phương trình có chứa căn thức, và các tình huống áp dụng trong các bài biến đổi rút gọn căn thức có chứa biến số x.
Bài toán yêu cầu tìm điều kiện của biến số sao cho biểu thức chứa căn có giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn một giá trị cho trước thường xuất hiện trong chương trình Toán THCS và THPT. Phương pháp giải loại bài này tập trung vào việc xác định điều kiện của căn thức, quy đồng và xét dấu để thiết lập bất phương trình.
Trong các bài toán căn thức chứa biến, đôi khi ta cần tìm giá trị của biến để biểu thức căn thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn một giá trị cho trước. Để làm được điều này, ta cần giải bất phương trình liên quan đến căn thức. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết kèm ví dụ minh họa.
Các bước tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn
Để giải các bài toán liên quan đến căn thức chứa ẩn, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của các biểu thức để các phép toán trong bài được thực hiện hợp lệ. Các điều kiện thường liên quan đến việc đảm bảo căn bậc hai có giá trị hợp lệ (không âm), đồng thời mẫu số phải khác không nếu biểu thức có dạng phân số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết kèm ví dụ minh họa.
I. Các bước tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn
Giả sử ta có biểu thức dạng:
Trong đó A(x), B(x), f(x), và g(x) là các biểu thức chứa biến x.
Bước 1: Điều kiện từ biểu thức dưới dấu căn
Để căn thức xác định và có nghĩa, ta cần điều kiện:
Nếu căn thức xuất hiện trong mẫu số, ta cần thêm điều kiện:
Bước 2: Điều kiện từ mẫu số (nếu có)
Nếu mẫu số của phân số chứa biểu thức $g(x)$, ta cần đảm bảo mẫu số khác không:
Bước 3: Tổng hợp các điều kiện
Kết hợp các điều kiện đã tìm được từ các bước trên, xác định tập xác định $D$ của biểu thức.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Xét biểu thức sau:
Giải:
Điều kiện từ biểu thức trong dấu căn:
❈ Với
cần
❈Với
cần
.
Tóm lại, từ dấu căn, ta cần:
Điều kiện từ mẫu số:
❈Mẫu số thứ nhấtx−1:
.
❈Mẫu số thứ hai x−4:
Vậy ta có:
Kết luận tập xác định: Tập xác định của Q là:
III. Bài tập luyện tập
Bài tập 1:
Xác định điều kiện xác định của biểu thức:
Gợi ý: Áp dụng các bước trên để tìm điều kiện của các căn thức và mẫu số.
Bài tập 2:
Rút gọn biểu thức sau, sau khi xác định điều kiện xác định của biểu thức:
Tìm Điều Kiện của Biến Số để Biểu Thức Chứa Căn Thức Có Giá Trị Lớn Hơn hoặc Nhỏ Hơn Một Giá Trị Cho Trước
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC CƠ BẢN
I. Phương pháp giải
Giả sử ta cần tìm điều kiện của biến x để biểu thức căn thức
thỏa mãn điều kiện:
(với
là hằng số dương).
.
Trong đó,
là biểu thức chứa x
(ví dụ
).
Bước 1: Điều kiện xác định của căn thức
Để f(x) có nghĩa, cần điều kiện
.
Bước 2: Bình phương hai vế bất phương trình
Với bất phương trình
:
Bình phương hai vế, ta được:
.
Với bất phương trình
:Bình phương hai vế, ta có:
.
(chú ý khi bình phương 2 vế bất phương trình, cần xét dấu của 2 vế, ở đây f(x)>0 nên chiều bất đẳng thức không đổi.
Bước 3: Kết hợp điều kiện
Tập hợp các điều kiện xác định từ căn thức (bước 1) và điều kiện bất phương trình (bước 2).
Từ đó xác định khoảng giá trị của biến $x$ mà bài toán yêu cầu.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Tìm giá trị của x để biểu thức
.
Giải:
Điều kiện xác định của căn thức:
Để
có nghĩa, cần
.
Giải bất phương trình này:
.
Biến đổi bất phương trình:
Từ
bình phương hai vế ta được:
Giải bất phương trình này:
Kết hợp các điều kiện:
Điều kiện xác định:
.
Điều kiện từ bất phương trình:
.
Vậy tập nghiệm của bài toán là:
Ví dụ 2:
Tìm giá trị của x để
.
Giải:
Điều kiện xác định của căn thức:
Để
có nghĩa, cần
.
Giải điều kiện này ta được
.
Biến đổi bất phương trình:
Từ
, bình phương hai vế:
Giải bất phương trình này:
Kết hợp các điều kiện:
Điều kiện xác định:
.
Điều kiện từ bất phương trình:
.
Vậy tập nghiệm của bài toán là:
III. Bài tập luyện tập
Bài tập 1:
Tìm giá trị của x để biểu thức
thỏa mãn:
Gợi ý:
Giải bất phương trình bằng cách bình phương hai vế, sau đó kết hợp điều kiện xác định của căn thức.
Bài tập 2:
Tìm giá trị của x để
.
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC CHỨA CĂN THỨC
Đối với biểu thức dạng
khi yêu cầu Q phải thỏa mãn bất đẳng thức
hoặc
Với
là một giá trị cho trước, chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm Điều Kiện Xác Định của Biểu Thức
Để căn thức xác định, đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm.
Xét các mẫu số trong biểu thức
, từ đó suy ra các giá trị cần loại trừ của x .
Bước 2: Thiết Lập Bất Phương Trình
Từ điều kiện đề bài, xét bất phương trình của Q Theo yêu cầu:
Bài viết hướng dẫn giải mẫu bài 9 trang 35 sách chân trời sáng tạo về bất đẳng thức ,kèm các bài tập tự luyện và mở rộng ứng dụng của bất đẳng thức trong các tình huống thực tế và trong bài thi khác nhau
Hướng dẫn bài tập về bất phương trình trong toán thực tế dạng bậc thang, bao gồm giảm giá và tính tiền điện nước. Tài liệu cung cấp các ví dụ cụ thể, phân tích điều kiện và cách giải bài toán, cùng với bài tập tự luyện để phát triển kỹ năng toán học cho học sinh lớp 9.
Biểu thức căn chứa ân. Sau khi đọc xong bài này các em sẽ biết cách xác định điều kiện xác định của biểu thức, giải bất phương trình và phương trình nghiệm nguyên
Made with Bullet