Hệ thống kiến thức | Định Lý Pythagoras: Khái Niệm, Ví Dụ Minh Họa và Bài Tập Thực Tế | Lớp 8
Định lý Pythagoras là nền tảng của hình học, ứng dụng rộng rãi trong toán học và đời sống. Bài viết cung cấp định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa chi tiết, bài tập tự luyện và lời giải. Ngoài ra, bạn sẽ tìm thấy các bài toán thực tế áp dụng định lý này, từ việc đo khoảng cách, dựng trụ cờ, đến thiết kế lều trại.
Định lý Pythagoras là một trong những định lý cơ bản trong hình học, được áp dụng rộng rãi trong thực tế và các bài toán hình học. Định lý phát biểu như sau:
Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
Công thức:
Nếu tam giác vuông có cạnh huyền là
và hai cạnh góc vuông là
và
, thì:
II. Áp dụng định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras thường được dùng trong các trường hợp sau:
Tính độ dài một cạnh trong tam giác vuông:
Biết độ dài hai cạnh bất kỳ.
Kiểm tra tam giác có vuông hay không:
So sánh bình phương độ dài cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại.
Giải quyết bài toán thực tế:
Đo khoảng cách giữa hai điểm không nằm trên cùng mặt phẳng.
III. Ví dụ minh hoạ
Bài toán 1:
Cho tam giác vuông
, vuông tại
, với
cm,
cm. Tính độ dài cạnh huyền
.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pythagoras:
Thay số:
Suy ra:
(cm).
Bài toán 2:
Một cái thang dài 10 m được dựng từ mặt đất đến một bức tường. Đỉnh thang chạm vào tường tại độ cao 8 m. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét?
Lời giải:
Đặt chiều cao từ chân thang đến tường là
. Ta có tam giác vuông với cạnh huyền là 10 m, một cạnh góc vuông là 8 m:
(m).
Vậy chân thang cách tường 6 m.
IV. Bài tập tự luyện
Cho tam giác vuông
, vuông tại
, biết
cm,
cm. Tính độ dài cạnh huyền
.
2. Tam giác
có các cạnh
cm,
cm,
cm. Hỏi tam giác
có phải tam giác vuông không?
3. Một cột cờ cao 15 m, bóng của nó trên mặt đất dài 20 m. Tính khoảng cách từ đỉnh cột cờ đến đầu bóng.
4. Một hình chữ nhật có chiều dài là 9 cm, chiều rộng là 7 cm. Tính độ dài đường chéo.
Gợi ý:
Với bài tập 2, kiểm tra tam giác vuông bằng cách so sánh
với
Với bài tập 4, đường chéo hình chữ nhật có thể tính như cạnh huyền của tam giác vuông.
Chúc các bạn học tốt! 🎉
.
Bài tập Tổng hợp có hướng dẫn
Bài tập Cơ bản
Bài tập 1: Chứng minh tam giác vuông
Cho tam giác có các cạnh lần lượt là (7cm), (24cm), (25cm). Chứng minh đây là tam giác vuông.
Lời giải: Để chứng minh tam giác vuông, kiểm tra xem bình phương cạnh dài nhất có bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại không.
Cạnh dài nhất: (25cm). Áp dụng định lý Pythagoras:
Tính:
Suy ra:
Do đó, tam giác có ba cạnh này là tam giác vuông.
Bài tập 2: Tìm cạnh góc vuông
Một tam giác vuông có cạnh huyền dài (13cm) và một cạnh góc vuông dài (5cm). Tính độ dài cạnh góc vuông còn lại.
Lời giải: Áp dụng định lý Pythagoras:
Với (c = 13cm), (a = 5cm), ta có:
Suy ra:
Đáp án: Cạnh góc vuông còn lại dài (12cm).
Bài tập 3: Bài toán thực tế
Một chiếc thang dài 10 m được đặt dựa vào tường. Chân thang cách chân tường 6 m. Hỏi đỉnh thang cao bao nhiêu so với mặt đất?
Lời giải: Tam giác được tạo bởi thang, tường và mặt đất là một tam giác vuông. Đặt:
Cạnh huyền: (c = 10 , m,
Một cạnh góc vuông: (a = 6 , m,
Chiều cao cần tìm: (b).
Áp dụng định lý Pythagoras:
Suy ra:
Đáp án: Đỉnh thang cao 8 , m.
Bài tập 4: Bài toán cứu hộ
Một đội cứu hộ cần di chuyển từ điểm (A) đến điểm (C) qua một con sông. Điểm (B) trên bờ đối diện cách (A) (30 , m và cách (C) (40 , m. Tính khoảng cách ngắn nhất mà đội cứu hộ phải bơi từ (A) đến (B), sau đó chạy từ (B) đến (C).
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách bơi: AB = 30 , m.
Khoảng cách chạy: BC = 40 , m.
Tổng khoảng cách: AB + BC = 30 + 40 = 70 , m.
Bài Toán Thực Tế Nâng Cao
Bài tập 5: Tam giác vuông nội tiếp đường tròn (Lớp 9)
Cho một đường tròn đường kính (10 cm). Trên đường tròn, vẽ tam giác (ABC) sao cho (AB) là đường kính. Chứng minh tam giác (ABC) vuông tại (C), và tính độ dài cạnh (BC) nếu (AC = 6 cm).
Hướng dẫn giải:
Chứng minh vuông tại (C):
Định lý: Tam giác có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông nội tiếp đường tròn.
Tam giác (ABC) vuông tại (C).
Tính cạnh (BC):
Cạnh huyền: (AB = 10 cm).
Cạnh (AC = 6 cm). Áp dụng định lý Pythagoras:
Suy ra:
Đáp án:
Bài tập 6: Tam giác vuông trong hình học không gian
Một hộp hình hộp chữ nhật có kích thước dài (6 cm), rộng (4 cm), và cao (3 cm). Tính độ dài đường chéo lớn nhất của hộp.
Hướng dẫn giải:
Đường chéo lớn nhất của hình hộp chữ nhật là đường chéo không gian, tính theo công thức:
Với (a = 6 cm), (b = 4 cm), (c = 3 cm):
Đáp án: Đường chéo lớn nhất dài (\sqrt{61} cm).
Bài tập 7: Vẽ tam giác vuông từ tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm (A(1,2)), (B(5,2)), và (C(1,6)). Chứng minh tam giác (ABC) vuông, và tính độ dài cạnh huyền.
Bạn muốn xây một hàng rào hình tam giác vuông. Hai cạnh góc vuông dài (12 , m và (16 , m. Chi phí làm hàng rào là (200.000 , \text{VND}) mỗi mét. Tính tổng chi phí để làm hàng rào.
Hướng dẫn giải:
Tính độ dài cạnh huyền:
Tổng chiều dài hàng rào:
Tính chi phí:
Đáp án: Tổng chi phí là (9.600.000,VND}).
Bài toán 9: Lập kế hoạch dựng trụ cờ
Một trụ cờ cao (20 m) được giữ cố định bởi 3 dây cáp kéo căng từ đỉnh trụ xuống mặt đất. Ba dây cáp được gắn vào các móc ở mặt đất tạo thành các tam giác vuông với trụ cờ, trong đó các khoảng cách từ chân trụ đến các móc dây lần lượt là (15 m), (18 m), và (24 m).
Hãy tính tổng chiều dài của cả 3 dây cáp cần thiết để dựng trụ cờ.
Hướng dẫn giải:
Dây cáp đóng vai trò cạnh huyền của tam giác vuông. Áp dụng định lý Pythagoras cho từng dây:
Chiều dài dây thứ nhất:
Với khoảng cách từ chân trụ đến móc dây là (15 m):
Chiều dài dây thứ hai:
Với khoảng cách từ chân trụ đến móc dây là (18 m):
Chiều dài dây thứ ba:
Với khoảng cách từ chân trụ đến móc dây là (24 m):
Tổng chiều dài của cả 3 dây:
Đáp án: Tổng chiều dài dây cáp cần thiết là khoảng (83.16 m).
Bài toán 10: Thiết kế lều trại hình tam giác
Một chiếc lều có dạng tam giác vuông cân, với chiều cao từ đỉnh lều đến mặt đất là (2.5 m). Mỗi cạnh đáy của tam giác lều dài gấp đôi chiều cao của lều.
Hãy tính:
Độ dài các cạnh nghiêng của lều.
Diện tích bề mặt bên của lều (hai mặt tam giác).
Hướng dẫn giải:
Tính độ dài cạnh nghiêng:
Gọi
Là chiều dài cạnh đáy
Là diện tích mỗi mặt
S là diện tích toàn bộ
Tam giác vuông cân có chiều cao (h = 2.5 m), mỗi nửa đáy là:
Cạnh nghiêng (cạnh huyền) của tam giác vuông:
Tính diện tích mỗi mặt tam giác:
Diện tích một mặt tam giác:
Diện tích hai mặt tam giác:
Đáp án:
Độ dài các cạnh nghiêng: 3.54 m.
Diện tích hai mặt tam giác: 12.5 m^2.
Ví dụ Bài Toán Thực Tế Phức Tạp
Bài toán 11: Lập kế hoạch xây cầu thang
Một cầu thang dẫn lên một tầng lầu cao (3.6 m). Chiều dài của mỗi bậc thang (theo phương ngang) là (0.25 m), và cần thiết kế sao cho các bậc thang có độ nghiêng đều nhau.
Hỏi:
Cần bao nhiêu bậc thang để hoàn thành cầu thang này?
Tính tổng chiều dài đường nghiêng của cầu thang.
Hướng dẫn giải:
Tính số bậc thang:
Gọi h là chiều cao mỗi bậc, H là chiều cao toàn bộ , n là số bậc thang
Chiều cao mỗi bậc thang (theo phương thẳng đứng) là:
Với mỗi bậc thang có chiều ngang (0.25 m), đặt (n) là số bậc thang. Khi đó:
bậc
Tính chiều dài đường nghiêng của cầu thang:
Gọi chiều dài đường nghiêng là X và x là chiều dài cạnh huyền mỗi bậc.
Đường nghiêng sẽ bằng tổng chiều dài cạnh huyền của từng bậc):
Tính toán:
Cạnh huyền của mỗi bậc
Tính toán:
Tổng chiều dài:
Đáp án:
Số bậc thang: (20).
Tổng chiều dài đường nghiêng: (6.16 m).
Bài toán 12: Định vị tàu trên biển
Một tàu đang di chuyển trên biển, từ vị trí (A) đến vị trí (B), cách nhau (50 ,km Tại thời điểm (A), tàu phát hiện một ngọn hải đăng ở vị trí (C), cách tàu (30 ,km Ngọn hải đăng (C) nằm trên đường vuông góc với đường (AB).
Hỏi:
Tàu cách ngọn hải đăng (C) bao xa tại thời điểm (B)?
Tổng quãng đường tàu đã di chuyển là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ (B) đến ngọn hải đăng (C):
Trong tam giác vuông (ACB), cạnh góc vuông thứ nhất là (AC = 30 , km), cạnh góc vuông thứ hai là (AB = 50 ,km Áp dụng định lý Pythagoras:
Phương trình bậc hai một ẩn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế và lý thuyết. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết cách giải phương trình bậc hai, từ xác định hệ số, tính biệt thức đến phân loại nghiệm. Đọc ngay để nắm vững phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình bậc hai.
Bài viết trình bày phương pháp sử dụng các đẳng thức quen thuộc trong chứng minh bất đẳng thức, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết và bài tập vận dụng. Đây là phần 1 trong chuỗi chuyên đề dành cho học sinh yêu thích toán học, đặc biệt là các bạn đang ôn thi vào lớp chuyên
Bài viết trình bày phương pháp sử dụng các đẳng thức quen thuộc trong chứng minh bất đẳng thức, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết và bài tập vận dụng. Đây là phần 1 trong chuỗi chuyên đề dành cho học sinh yêu thích toán học, đặc biệt là các bạn đang ôn thi vào lớp chuyên
Made with Bullet