Bất Đẳng Thức Cauchy - Schwarz và ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Bất Đẳng Thức Cauchy - Schwarz và ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Phần này tập trung vào các kỹ thuật cơ bản để chứng minh bất đẳng thức, bao gồm việc sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt hữu ích trong chứng minh bất đẳng thức. Nó thường được áp dụng trong các bài toán so sánh tổng bình phương và bình phương tổng của các số hạng, giúp tạo ra các bất đẳng thức phức tạp từ các bất đẳng thức cơ bản.

Dec 1, 2024
 
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt hữu ích trong chứng minh bất đẳng thức. Nó thường được áp dụng trong các bài toán so sánh tổng bình phương và bình phương tổng của các số hạng, giúp tạo ra các bất đẳng thức phức tạp từ các bất đẳng thức cơ bản.
 

Video preview
 
 

Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết về cách ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh các bất đẳng thức.

Hướng Dẫn Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức

1. Phát biểu của Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với mọi số thực
notion image
notion image
, ta có:
notion image
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các cặp số
notion image
(với
notion image
).

2. Cách Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz

Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta thường thực hiện các bước sau:
  1. Xác định các dãy số
notion image
notion image
trong bài toán**:
Xem xét bài toán yêu cầu bất đẳng thức gì và chọn các dãy số phù hợp.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các dãy số đã chọn.
3. Biến đổi kết quả để phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh.
4. Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu “=” nếu cần.

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Chứng Minh Bất Đẳng Thức AM-GM

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm
notion image
notion image
, ta có:
notion image

Giải

  1. Chọn các dãy số:
      • Đặt
notion image
notion image
notion image
.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
notion image
  1. Thay các giá trị vào:
      • Ta có
notion image
notion image
notion image
.
  • Do đó, bất đẳng thức trở thành:
notion image
  1. Khai triển và đơn giản hóa:
notion image
hay
notion image
  1. Kết luận:
      • Chia cả hai vế cho 2, ta có
notion image
, điều này chứng tỏ bất đẳng thức AM-GM đúng.

Ví dụ 2: Chứng Minh Bất Đẳng Thức Tổng Bình Phương

Chứng minh rằng với mọi số thực
notion image
, ta có:
notion image

Giải

  1. Chọn các dãy số:
      • Đặt
notion image
notion image
notion image
notion image
notion image
notion image
.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
notion image
  1. Thay các giá trị vào:
      • Ta có
notion image
.
  • Ta cũng có
notion image
.
4. Đơn giản hóa bất đẳng thức:
  • Từ đó, bất đẳng thức trở thành:
notion image
  • Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Tiếp theo là một ví dụ nâng cao thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh.

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số thực dương ( a, b, c ), ta có:

notion image

Giải

Chọn các dãy số và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
  • Để áp dụng Cauchy-Schwarz, ta xét các dãy số(ab,bc, ( \frac{a}{\sqrt{b}}, \frac{b}{\sqrt{c}}, ca)\frac{c}{\sqrt{a}} )(b,c,a)( \sqrt{b}, \sqrt{c}, \sqrt{a} ).
  • Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
notion image
Suy ra:
notion image
  1. Chia hai vế cho (a+b+c)( a + b + c ) (giả sử (a+b+c0 a + b + c \neq 0 )):
notion image
  1. Kết luận:
      • Do đó, ta có bất đẳng thức:
notion image
  • Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
notion image
notion image


Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :

 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)