Phần này tập trung vào các kỹ thuật cơ bản để chứng minh bất đẳng thức, bao gồm việc sử dụng Bất đẳng thức AM-GM là một trong những công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt hữu ích trong chứng minh bất đẳng thức. Nó thường áp dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và cực trị

Shin Hoàng

Dec 1, 2024

Bất đẳng thức AM-GM là một công cụ cơ bản nhưng hiệu quả trong bất đẳng thức, giúp chúng ta dễ dàng chứng minh và tìm ra các giá trị cực trị của các biểu thức số học.

👨🏻‍🎓

Hệ Thống Kiến Thức : Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình | Toán Lớp 9 | Chương 2

🚀

Phương Pháp Chứng Minh Dựa Trên Định Nghĩa và Biến Đổi Tương Đương

Dưới đây là bài hướng dẫn chi tiết về cách ứng dụng bất đẳng thức AM-GM (Trung bình Cộng - Trung Bình Nhân) để chứng minh các bất đẳng thức.

Hướng Dẫn Về Bất Đẳng Thức AM-GM

1. Định Nghĩa

Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong toán học. Định nghĩa của bất đẳng thức này như sau:

Với hai số dương (a) và (b):

Còn với

(n)

số dương

x_1, x_2, \ldots, x_n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số

x_1, x_2, \ldots, x_n

đều bằng nhau.

Một số ví dụ là hệ quả của AM - GM

Hướng Dẫn Ứng Dụng Bất Đẳng Thức AM-GM Trong Bài Toán Tối Ưu Hóa Thực Tế

1. Nhắc lại bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM cho biết rằng với ( n ) số dương (

a_1, a_2, \ldots, a_n

), ta có:+

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

Dấu bằng xảy ra khi

a_1 = a_2 = \cdots = a_n

2. Ý tưởng của bài toán tối ưu hóa

Trong các bài toán tối ưu, mục tiêu là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức nào đó. Bất đẳng thức AM-GM giúp chúng ta đạt được điều này bằng cách thiết lập các điều kiện để tổng hoặc tích của các thành phần là cực đại hoặc cực tiểu.

Bài toán tối ưu thực tế

Bài toán: Thiết kế hộp đựng có thể tích lớn nhất với chi phí cố định

Giả sử bạn muốn thiết kế một hộp hình chữ nhật để đựng đồ sao cho tổng diện tích bề mặt của hộp là 1500 cm². Mục tiêu là làm cho thể tích của hộp lớn nhất có thể.

Giả sử chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp lần lượt là

x

y

và

h

Bước 1: Xây dựng hàm thể tích

Thể tích ( V ) của hộp là:

Bước 2: Biểu diễn theo điều kiện

Diện tích bề mặt của hộp là:

Hay:

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

Từ bất đẳng thức AM-GM cho

xy

xh

, và

yh

xy + xh + yh \geq 3\sqrt[3]{(xy)(xh)(yh)}

Thay

xy + xh + yh = 750

, ta có:

Vậy, thể tích tối đa đạt được khi (

x = y = h

), tức là hộp có hình lập phương.

4. Các bước cơ bản để áp dụng AM-GM trong bài toán tối ưu

❀ Xác định mục tiêu: Xác định đại lượng cần tối ưu (thể tích, diện tích, chi phí, v.v.).

✿ Tạo ràng buộc: Thiết lập các điều kiện ràng buộc theo đề bài.

❈ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM: Áp dụng AM-GM để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, đồng thời kiểm tra điều kiện dấu bằng.

✬ Giải và kiểm tra: Giải các phương trình hoặc bất đẳng thức đã tạo ra, sau đó kiểm tra lại đáp án xem có thỏa mãn điều kiện ban đầu không.

5. Một số lưu ý khi sử dụng AM-GM

Điều kiện dương: Các số trong bất đẳng thức AM-GM phải là số dương.

Điều kiện dấu bằng: Để đạt dấu bằng trong AM-GM, các số hạng phải bằng nhau, nên bài toán thường yêu cầu thiết lập các biến sao cho chúng bằng nhau hoặc có tỷ lệ cố định.

Kết luận

Bất đẳng thức AM-GM không chỉ là một công cụ toán học mà còn rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế.

Bằng cách hiểu và vận dụng nó hiệu quả, bạn có thể giải quyết nhiều bài toán tối ưu hóa khác nhau, từ bài toán tối đa hóa thể tích cho đến tối thiểu hóa chi phí trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Bài Tập Toán Tối Ưu Thực Tế (Có Giải)

Ví dụ: Tối thiểu hóa chu vi của một hình chữ nhật có diện tích cho trước

Bạn có một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là
Bạn muốn xây hàng rào bao quanh mảnh đất sao cho chu vi của nó nhỏ nhất có thể. Hãy xác định kích thước của hình chữ nhật để chu vi là nhỏ nhất.

Giải:

Đặt tên các biến:

Gọi chiều dài của mảnh đất là (x) (m) và chiều rộng là (y) (m).

Diện tích của hình chữ nhật được cho là $x \cdot y = 100$ .

Chu vi cần tối thiểu: Chu vi của hình chữ nhật là

P = 2(x + y)

Biểu diễn (

y

) theo (x): Từ

x \cdot y = 100

, suy ra

y = \frac{100}{x}

Biểu diễn chu vi theo (x): Thay

y = \frac{100}{x}

vào công thức chu vi:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: Áp dụng AM-GM cho hai số dương

x

và

\frac{100}{x}

Suy ra:

Dấu bằng xảy ra khi

x = \frac{100}{x}

, hay

x^2 = 100

, suy ra

x = 10

Kết luận:

Khi x = 10 và y = 10 , ta có hình vuông với chu vi nhỏ nhất là P = 40 m. Vậy, để tối thiểu hóa chu vi, mảnh đất nên có kích thước

10 , \text{m} \times 10 , \text{m}

Bài Tập Luyện Tập

Bài Tập 1

Cho một hình chữ nhật có diện tích

64 \text{cm}^2

. Tìm kích thước của hình chữ nhật sao cho tổng chiều dài và chiều rộng là nhỏ nhất.

Đáp án: Hình vuông có cạnh

8\text{ cm}

, tổng chiều dài và chiều rộng là

16 \text{ cm}

Bài Tập 2

Tìm hai số dương có tổng là 12 sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Đáp án: Hai số bằng nhau và đều bằng (6). Tích lớn nhất là (36).

Bài Tập 3

Cho ba số dương (a), (b), (c) thỏa mãn (

a + b + c = 15

). Tìm giá trị lớn nhất của tích (

a \cdot b \cdot c

Đáp án: Khi (a = b = c = 5), ta có tích lớn nhất là (

5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Bài Tập 4

Một thùng chứa hình chữ nhật có thể tích là

500 \text{ cm}^3

. Tìm các kích thước của thùng (chiều dài, chiều rộng, chiều cao) sao cho tổng diện tích bề mặt là nhỏ nhất.

Đáp án: Khi thùng là hình lập phương có cạnh

\sqrt[3]{500}\approx 7.94 , \text{cm}

, tổng diện tích bề mặt nhỏ nhất đạt được.

Lưu Ý

💡

Các bài toán này đều yêu cầu sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đưa ra giải pháp tối ưu. Để rèn luyện, bạn nên:

✪ Xác định biến và mục tiêu tối ưu (tối đa hoặc tối thiểu).

✪ Áp dụng AM-GM, đồng thời kiểm tra điều kiện để đạt dấu bằng.

✪ Tính toán và kiểm tra lại đáp án có thỏa mãn bài toán không.

Việc nắm vững phương pháp này sẽ giúp bạn dễ dàng áp dụng vào các bài toán tối ưu khác trong thực tế.

Ví dụ Bài toán: Tối thiểu hóa chi phí sản xuất

Một công ty sản xuất quyết định chi tiền cho hai yếu tố là lao động $L$ và nguyên vật liệu $M$ để sản xuất một sản phẩm.
Để hoàn thành một lô hàng, công ty cần tổng chi phí $L + M = 12$ triệu đồng.
Chi phí dành cho lao động là $4$ triệu đồng và chi phí nguyên vật liệu là $6$ triệu đồng.
Mục tiêu là phân chia số tiền này sao cho tích $L \cdot M$ là lớn nhất, giúp tối ưu hóa việc sử dụng lao động và nguyên vật liệu.

Phân tích đề

Nhà máy cần sản xuất một loại sản phẩm với hai nguồn lực chính:

$L$ : chi phí cho lao động

$M$ : chi phí cho nguyên vật liệu

Hai chi phí này được giới hạn sao cho tổng chi phí không được vượt quá 12, tức là:

Sản lượng

P

của nhà máy được tính bằng tích của hai yếu tố này:

Yêu cầu: Tìm giá trị của

L

và

M

sao cho sản lượng

P

lớn nhất.

Lời giải bằng bất đẳng thức AM-GM

Để tối đa hóa

P = L \cdot M

, chúng ta sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân AM-GM.

Theo bất đẳng thức AM-GM, với hai số dương

L

và

M

, ta có:

Thay

L + M = 12

vào, ta được:

Bình phương cả hai vế, ta có:

Dấu "bằng" xảy ra khi

L = M

Do đó, để đạt sản lượng tối đa, ta chọn

L = M = 6

. Khi đó: