AITA? Số 9: Tính khoảng cách từ tâm đến dây không qua tâm của đường tròn

Bài toán

Suy Luận

• Đây là dạng toán tính khoảng cách từ tâm đến dây cung. Khi cho dây cung, một tính chất rất hay được sử dụng chính là định lý về quan hệ đường kính - dây cung.

• Gọi E, F là trung điểm AB và CD, theo bổ đề 2.1 ta có OE, OF vuông góc với AB và CD. Khai thác tiếp giả thiết AB vuông góc với CD ta có MEOF là hình chữ nhật. Từ đó ta có OE = MF. Mà MF ta tính được ( bằng $$CF - CM$$ , hai cạnh này ta đã biết). Vậy ta tính được OE là khoảng cách từ O đến dây AB.

• Sau đó chúng ta sử dụng Công thức tính khoảng cách từ tâm đến dây (qua trung gian định lý Pythagore trong các tam giác vuông AEO và và COF) để tính ra R

Nhắc lại Kiến thức::

• Công thức tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây bất kì:
• $$d^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2 = R^2$$
• Trong đó:
• ⭐︎ d là khoảng cách từ tâm $$O$$ đến dây.
• ⭐︎ $$R$$ là bán kính của đường tròn.
• ⭐︎ $$L$$ là độ dài của dây.
• Giải thích:
• Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông có cạnh góc vuông là khoảng cách từ tâm đến dây và nửa độ dài dây, ta có công thức này khi áp dụng cho các dây trong đường tròn.

• Một công cụ mạnh khác khi ta có 2 dây của đường tròn giao nhau đó là "Phương tích đường tròn". Ta sẽ sử dụng trong cách thứ 2

Gợi ý Giải

Cách 1: Sử dụng định lý về quan hệ đường kính và dây cung

Bước 1: Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật

• $$OE \perp AB$$ do O là tâm đường tròn, E là trung điểm của dây AB, nên đường nối từ tâm $$O$$ đến $$E$$ là đường vuông góc với dây $$AB$$.

• Tương tự, $$OF \perp CD$$, do $$O$$ là tâm và $$F$$ là trung điểm của dây $$CD$$.

• Do hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại $$M$$, nên $$MF \perp AB$$.

Bước 2: Tính MF

Bước 3: Tính bán kính R

Bước 4: Tính $$OF$$

• Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là $$OE = 3 \text{cm}$$.

• Khoảng cách từ tâm O đến dây CD là $$OF \approx 6.4 \text{cm}$$.

• Bán kính của đường tròn O là $$R \approx 9.49 \text{cm}$$.

Cách 2: Sử dụng Phương tích đường tròn:

 

Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com

 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇