AITA? Số 6: Tìm điều kiện m để hai nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc đoạn cho trước
AITA? Số 6: Tìm điều kiện m để hai nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc đoạn cho trước
Các Mục Chính
Bài toán:
Phân tích:
Gợi ý giải chi tiết:
Cách 1: Sử dụng đạo hàm
Điều kiện nghiệm của phương trình:
Bước 1: Đạo hàm của hàm số
Bước 2: Xét dấu f(0) và f(4)
Ta có:
Kết luận:
Cách 2: Sử dụng dấu tam thức
Cách 3: Sử dụng đồ thị

AITA? Số 6: Tìm điều kiện m để hai nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc đoạn cho trước

Hướng dẫn tìm điều kiện m để hai nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc đoạn cho trước.Cung cấp phương pháp giải và ví dụ minh họa cụ thể.Tài liệu hữu ích cho học sinh ôn tập các bài toán về phương trình bậc 2 và điều kiện nghiệm.

Hỏi Bài AITA Lớp 8 Lớp 9 Đại Số
Shin Hoàng
Oct 27, 2024

Bài toán:

notion image

Phân tích:

  1. ▶︎ Giải phương trình $x2−5x−m=0 x^2 - 5x - m = 0 $ với các giá trị của $ m $ sao cho các nghiệm nằm trong khoảng [0; 4] .
  1. Ta sử dụng kiến thức đạo hàm lớp 11 hoặc xét dấu đa thức và giải bất phương trình của lớp 9 và 10

Gợi ý giải chi tiết:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm

Hàm số bậc hai: f(x)=x2−5x−mf(x) = x^2 - 5x - m
Để tìm điều kiện của m m , ta sử dụng đạo hàm và xét dấu của f(0) f(0) và f(4)f(4) .

Điều kiện nghiệm của phương trình:

Để phương trình có nghiệm thực, ta cần xét điều kiện: Δ=(−5)2−4(1)(−m)=25+4m⇒Δ=25+4m \Delta = (-5)^2 - 4(1)(-m) = 25 + 4m \quad \Rightarrow \quad \Delta = 25 + 4m
Điều kiện có nghiệm thực: Δ≥0⇒m≥−254 \Delta \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m \geq -\frac{25}{4}

Bước 1: Đạo hàm của hàm số

Ta tính đạo hàm của f(x) f(x) : f′(x)=2x−5 f'(x) = 2x - 5
Giải phương trình f'(x) = 0 : 2x−5=0⇒x=52 2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}
Tại x=52 x = \frac{5}{2} , đây là điểm cực trị của hàm số. Dựa vào đạo hàm, ta xét dấu của f'(x) $ để xác định tính đơn điệu của hàm số:
☀︎ Khi x<52 x < \frac{5}{2} , f′(x)<0 f'(x) < 0 , do đó f(x) giảm trên khoảng (−∞,52)(-\infty, \frac{5}{2}) .
☀︎ Khi x>52x > \frac{5}{2} , f'(x) > 0 , do đó f(x) tăng trên khoảng (52,∞) (\frac{5}{2}, \infty) .

Bước 2: Xét dấu f(0) và f(4)

Ta có:

☀︎ f(0)=−mf(0) = -m
☀︎ f(4)=16−20−m=−4−mf(4) = 16 - 20 - m = -4 - m
Trường hợp A: Cả hai nghiệm đều nằm trong đoạn [0; 4]
  • Điều kiện:
      • Để cả hai nghiệm nằm trong đoạn [0; 4], ta cần: f(0)>0 f(0) >0 và f(4)>0 f(4) > 0 ( 1 )
      ( 1 ) tương đương hệ bất phương trình: (-m)> 0 và (-4 - m) > 0
      Kết quả: m∈(−∞,−4)m \in (-\infty, -4) ( 1.1 )
kết hợp với điều kiệnΔ≥0 \Delta \geq 0 để có nghiệm,: m≥−254 m \geq -\frac{25}{4} ( 1.2)
Vậy −4≥m≥−254-4 \geq m \geq -\frac{25}{4}
Trường hợp B: Chỉ có một nghiệm nằm trong đoạn [0; 4]
  • Điều kiện:
      • Khi chỉ có một nghiệm thuộc đoạn [0;4][0; 4], ta có: f(0)⋅f(4)<0f(0) \cdot f(4) < 0
      Bất phương trình này tương đương: (−m)(−4−m)<0(-m)(-4 - m) < 0
    • Nếu 0 < m < 4, một trong hai nhân tử dương và nhân tử còn lại âm, nên (−m)(−4−m)<0(-m)(-4 - m) < 0.
        • Kết quả: 0<m<4 0 < m < 4
Kết hợp với điều kiện Δ≥0\Delta \geq 0, thoả với mọi m thuộc khoảng 0 < m < 4

Kết luận:

▶︎ Trường hợp A:−4≥-4 \geq m≥−254 m \geq -\frac{25}{4}
▶︎ Trường hợp B: Chỉ có một nghiệm thuộc đoạn $[0; 4]$, điều kiện là 0<m<4. 0 < m < 4.
 

Cách 2: Sử dụng dấu tam thức

Tương tự cách 1, xét hai trường hợp và sử dụng
Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c với$a≠0a \neq 0, liên quan đến số thực kk, có thể diễn giải như sau:
▶︎ Trường hợp 1: af(k)≤0 af(k) \leq 0 ⇔k∈[x1;x2] k \in [x_1; x_2]
Trong đó, x1x_1 và x2x_2 là hai nghiệm của phương trình f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2 + bx + c = 0 (giả sử Δ≥0\Delta \geq 0, tức có nghiệm thực).
▶︎ Trường hợp 2: Nếu af(k)>0 af(k) > 0 ⇔k∉[x1;x2] k \notin [x_1; x_2]

Cách 3: Sử dụng đồ thị

Sử dụng kiến thức đồ thị đã biết.
Đồ thị của f(x) là một parabol mở lên trên (a=1 >0) cắt trục hoành tại hai điểm(x1,0) (x_1 , 0 ) và (x2,0)(x_ 2, 0)
Phần nằm dưới trục hoành gồm các điểm có x ∈(x1,x2)(x_1,x_2) và y = f(x) <0 (xem bên dưới)
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với
Trường hợp A: Cả hai nghiệm đều nằm trong đoạn [0; 4]
notion image
f(0)>0f(0) > 0 và f(4)>0f(4) > 0
Trường hợp B: Chỉ có một nghiệm nằm trong đoạn [0; 4]
notion image
f(0).f(4)<0f(0).f(4) < 0
 
 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
Shin Hoàng

Bài Liên Quan

AITA? Số 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

AITA? Số 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Shin Hoàng
Nov 17, 2024

Đại Số Lớp 9 Lớp 8 Hỏi Bài AITA
AITA? Số 5: Đặt hệ phương trình giải bài toán hai xe gặp nhau

AITA? Số 5: Đặt hệ phương trình giải bài toán hai xe gặp nhau
Shin Hoàng
Nov 11, 2024

Hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán chuyển động bằng hệ phương trình. Cung cấp phương pháp giải bài toán chuyển động với ví dụ minh họa cụ thể. Dành cho học sinh cần ôn tập và nắm vững kiến thức hệ phương trình và bài toán chuyển động.

Hỏi Bài AITA Lớp 8 Lớp 9 Đại Số
AITA? Số 8: Chứng minh hệ thức cạnh góc trong tam tam giác vuông

AITA? Số 8: Chứng minh hệ thức cạnh góc trong tam tam giác vuông
Shin Hoàng
Oct 11, 2024

• Hướng dẫn chi tiết hệ thức lượng giác liên quan đến chân đường cao trong tam giác vuông. • Cung cấp phương pháp giải rõ ràng với ví dụ minh họa cụ thể. • Tài liệu hữu ích cho học sinh ôn tập kiến thức hình học và lượng giác trong tam giác vuông.

Hỏi Bài AITA Lớp 8 Lớp 9 Đại Số