AITA 21 | Giải Phương Trình Chứa Căn Thức bằng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz

AITA 21 | Giải Phương Trình Chứa Căn Thức bằng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz

Chuyên mục AITA của Toán Cô Diễm hướng dẫn giải phương trình chứa căn thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bài viết giúp các bạn học sinh nắm vững cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và bất đẳng thức để đơn giản hóa phương trình bậc cao, phù hợp cho những bài toán phức tạp.

Nov 30, 2024
 

Video preview
 
 

 
 
Hỏi Bài AITA là chuyên mục hướng dẫn giải bài tập do các bạn học sinh gửi về.
Bài toán lần này là một bài toán kết hợp phương trình và căn thức giải bằng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Scharwz
(hay còn gọi là bất đẳng thức BCS - Bunyakovsky-Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz)

Đề bài

 
Giải phương trình
 
notion image

Phân tích

 
Để giải phương trình
 
notion image
 
Chúng ta thấy với phương trình này, nếu sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp để khử căn sẽ cho phương trình bậc 8, gây khó khăn cho việc giải.
 
Vì vậy chúng ta nghĩ đến các phương pháp khác như đặt ẩn phụ.
.
 
Nhận thấy rằng:
notion image
 
tức là hai biểu thức dưới dấu căn có tổng là một hằng số.
 
Điều này gợi ý rằng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz để biến đổi phương trình.

Hướng dẫn

Bước 1: TÌm Điều kiện xác định và đặt ẩn phụ

 
Điều kiện xác định:
 
notion image
 
Đặt:
notion image

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

 
Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz  cho hai dãy số không âm là
notion image
notion image
 
Suy ra
notion image
 
do đó:
notion image
Dấu
notion image
xảy ra
notion image
 

Bước 3: Giải bất phương trình

 
Để phương trình ban đầu có nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện:
 
notion image
notion image
dấu
notion image
xảy ra
notion image
Từ hai điều trên suy ra
notion image
 
Vậy phương trình có nghiệm
notion image
(thoả đkxd)
 

Kết luận

notion image
 
 
 

Xem Thêm Các Bài Hệ Thống Kiến Thức :
 
 
 
 
 

 
Nếu các bạn có đóng góp hoặc ý kiến vui lòng gửi về toancodiem.xinchao@outlook.com
 

Đừng quên nếu có bài toán cần hỏi thì 👇

 
notion image
 
LIÊN HỆ
📬 toancodiem.xinchao@gmail.com
📇169/2 Nguyễn Văn Cừ Phường 2 Q5 TPHCM
 
Đăng kí Học - Thời Khoá biểu
📞 +84-908-986-786 (Cô Diễm)
Hỗ Trợ  Học Viên
📞+84-765-359-411 (anh Quân)